Изменения

1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \frac15 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^4 + \dots < 1 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^2 + \frac13 {\left ( \frac1{2n + 1} \right )}^4 + \dots = \\= 1 + \frac13 q_n^2 + \frac13 q_n^4 + \dots = 1 + \frac13 \left ( \frac{q_n^2}{1 - q_n^2} \right ) = \\= 1 + \frac13 \frac{{\left( \frac1{2n + 1} \right)}^2}{1 - {\left( \frac1{2n + 1} \right)}^2} = 1 + \frac13 \frac1{{(2n + 1)}^2 - 1} = 1 + \frac1{12n(n + 1)} </tex> 1 < (n + \frac12) ln (1 + \frac1n) < 1 + \frac1{12n(n + 1)}потенциируем,  e < (1 + \frac1n)^{n + \frac12} < e \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} Рассмотрим последовательность a_n = \frac{n!}{n^{n + \frac12}} \cdot e^n \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \frac{n! e^n (n + 1)^{n + \frac32}}{n^{n + \frac12} (n + 1)! e^{n + 1}} = \frac{{(1 + \frac1n)^{n + \frac12}}e > 1 \Rightarrow последовательность a_n убывает, значит, по теореме Вейерштрасса, \exists a = \lim_{n \to \infty} a_n, a \le a_n b_n = a_n \cdot e^{- \frac1{12n}}, e^{- \frac1{12n}} \to 1.a_n \to a \Rightarrow b_n \to a.\frac{b_n}{b_{n + 1}} = \frac{a_n}{a_{n + 1}} \cdot \frac{e^{-\frac1{12n}}}{e^{-\frac1{12(n + 1)}}} = \frac{(1 + \frac1n)^{n + \frac12}}{e \cdot e^{\frac1{12n(n + 1)}} < 1 \Rightarrow b_n возрастает, b_n \le a. a_n e^{-frac1{12n}} < a < a_n \exists \theta_n \in (0; 1): a = a_n e ^ {- \frac{\theta_n}{12n}}. n! = a n ^ {n + \frac12} e^{-n} e^{\frac{\theta_n}{12n}}. Если a = \sqrt{2 \pi}, то получили формулу Стирлинга.