Изменения

Обозначим <tex>T_\text{opt}(\sigma)</tex> и <tex>T_\text{det}(\sigma)</tex> как время работы оптимального и детерминированного алгоритма на входе <tex>\sigma</tex>. По определению <tex>\alpha</tex>-оптимальности имеем <tex>\forall\sigma \; T_\text{det}(\sigma) < \alpha \cdot T_\text{opt}(\sigma) + C</tex>. Покажем, что достаточно построить для любого <tex>n</tex> такую последовательность запросов <tex>\sigma_n</tex>, что <tex>T_\text{det}(\sigma_n) \geqslant k \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) + C_0</tex>. Так как <tex>\lim\limits_{n->\infty}T = \infty</tex>, получаем <tex>\lim\limits_{n->\infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \geqslant k</tex>. С другой стороны можно раскрыть квантор раскрыть для значения <tex>\sigma_n</tex>: <tex>T_\text{det}(\sigma_n) < \alpha \cdot T_\text{opt}(\sigma_n) + C</tex>, а потом снова перейти к пределу <tex>\lim\limits_{n->\infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \leqslant \alpha</tex>. Перепишем неравенства в следующем виде <tex>k \leqslant \lim\limits_{n->\infty}\frac{T_\text{det}(\sigma_n)}{T_\text{opt}(\sigma_n)} \leqslant \alpha</tex>, откуда очевидно, что <tex>\alpha \geqslant k</tex>.

Посмотрим как на <tex>\sigma_n</tex> будет работать следующий, возможно оптимальный оффлайн алгоритм (индекс mopt). Первые k элементов алгоритм добавит в кэш, так как они все различные. Когда случается промах, алгоритм среди значений в кэше и только что обработанного результата запроса вытесняет то, которое в последующих запросах встречается первый раз как можно позже или не встречается совсем. При таком выборе, следующий кэш промах случится не менее чем через <tex>k</tex> запросов. Предположим, что это не так, и кэш промах случился через <tex>m < k</tex> запросов. Так как количество различных запросов на 1 больше размера кэша, то этот промах произошёл на запросе, который мы вытеснили из кэша в предыдущий раз. Из <tex>m < k</tex> следует, что есть запросы, которые мы не встретили среди первых <tex>m</tex>, а значит их первое вхождение будет после того значения, которое мы вытеснили. Получили противоречие, а значит предположение не верно. Оценим время работы возможно оптимального оффлайн алгоритма <tex>T_\text{mopt} \leqslant k + \lceil\frac{n-k}{k+1}\rceil \leqslant \frac{n}{k}</tex>. Последнее неравенство выполнено, т.к. <tex>n \gg k</tex>. Очевидно <tex>T_\text{opt}(\sigma_n) \leqslant T_\text{mopt}(\sigma_n)</tex>, откуда <tex>T_\text{opt}(\sigma_n) \leqslant \frac{n}{k}</tex>

Посчитаем матожидание количества промахов на фазе <tex>i</tex>. Оно максимально, когда в фазе сначала идут новые значения, а потом старые, потому что тогда каждое новое значение имеет больший шанс вытеснить старое, и при обращении к нему случится кэш промах. Так как на начало фазы <tex>i</tex> в кэше хранятся только значения фазы <tex>i-1</tex>, то понятно, что все новые запросы фазы <tex>i</tex> приведут к кэш промаху. Рассмотрим <tex>j</tex>-й среди старых запросов. Посмотрим на те значения фазы <tex>i-1</tex>, которые к текущему моменту были вытеснены или помечены. Заметим, что если значение было помечено, то его уже невозможно вытеснить, а если было вытеснено, то чтобы его пометить, необходимо вытеснить другое значение. <tex>j-1</tex> старых значений пометили сами себя, потому что они были в предыдущей фазе, а <tex>m_i</tex> пометить себя не могли, а поэтому вытеснили случайное подмножество из остальных <tex>k - (j-1)</tex>. Возможно они вытеснили кого-то из первых <tex>j-1</tex> старых значений, которые при обработке вытеснили кого-то другого. Главное, что распределение это не меняет. Вероятность того, что <tex>j</tex>-й старый запрос приведёт к кэш промаху, равена тому, что он был вытеснен из кэша <tex>P_j = \frac{m_i}{k - (j - 1)}</tex>.

T_\text{rnd} &\leqslant \sum\limits_{i=1}^p\left(m_i + \sum\limits_{j}E(\text{кэш промах на}\; j)\right) = \\ &= \sum\limits_{i=1}^p\left(m_i + \sum\limits_{j=1}^{k-m_i}\frac{m_i}{k-j+1}\right) = \sum\limits_{i=1}^p m_i\left(1 + \sum\limits_{j=1}^{k-m_i}\frac{1}{k-j+1}\right) = \\ &= \sum\limits_{i=1}^p m_i\left(1 + \sum\limits_{j=m_i+1}^{k}\frac{1}{j}\right) = \sum\limits_{i=1}^p m_i(1 + H_k - H_{m_i+1}) \leqslant \sum\limits_{i=1}^p m_iH_k = H_k\sum\limits_{i=1}^p m_i

&= \frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^{p-1}\left(E(\text{кэш промах на}\; i1) + E(\text{кэш промах на}\; p) + \sum\limits_{i+=1}^{p-1)}\right) + left(E(\text{кэш промах на}\; 1i) + E(\text{кэш промах на}\; pi+1)\right)\right) \geqslant \\