Изменения

<tex>\left \| A \right \|</tex> удовлетворяет стандартным трём аксиомам нормы:<br><br>

Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Пример — сложение операторовПримеры:<br><br>Рассмотрим x, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1. \left \| \left ( A + B \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|Ax \right \| + \left \| Bx \right \| \le \left \| A \right \| + \left \| B \right \|, \forall x \le 1 </tex><br><tex>~A\colon X \to Y, ~B\colon Y \to Z</tex><br><tex>B \circ A = B \cdot A \colon X \to Z, \left ( BA \right ) \left ( x \right ) = B \left ( A \left ( x \right ) \right )</tex><br><tex>\left \| BA \right \| \le \left \| B \right \| \cdot \left \| A \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| A^n \right \| \le \left \| A \right \|^n</tex><br><br>Рассмотрим частный случай:<br><tex>A\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb R, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k=\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>A \left (\overline {x_k} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k A \left ( \overline {e_k} \right ) </tex><br>Таким образом, если оператор действует из конечномеронго пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>A \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>.<br><tex>A \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex><br><tex>\overline y = A \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>A \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow A = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>n</tex> до <tex>m</tex> соответственно, а <tex>A \overline x <tex> результат действия л.о. <tex>A<tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведений матрицы <tex>A</tex> и столбца <tex>x<tex>.