Изменения
→Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок
== Первая версия алгоритма Алгоритм за O(n<sup>3</sup>) ==Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время <tex>O(n^3)</tex>, где <tex>n</tex> — длина исходной строки <tex>s</tex>. В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.{{Определение|definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}}[[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]]Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2} \ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>.
=== Псевдокод =Продление суффиксов ==Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода: '''for''' <tex> i \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> n </tex> '''do''' '''for''' <tex> j \leftarrow 1 </tex> '''to''' <tex> i </tex> '''do''' insert(Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{j..i}</tex>)Поскольку операция insert может занимать линейное время, очевидно, что время работы данного алгоритма составляет ко всем суффиксам префикса <tex>O(n^3)</tex>. == Возможные исходы операции insert ==Ниже приведены три возможных случая, которые могут возникнуть при добавлении подстроки <tex>s_{j..s[1 \ldots i}-1]</tex> в дерево.{| border="1" cellpadding="53" cellspacing="0" style="text-align:center" width=9075%
!style="background:#f2f2f2"|Случай
!style="background:#f2f2f2"|ОписаниеПравило
!style="background:#f2f2f2"|Пример
|-
|style="background:#ffffff"|''1. Продление листа''
|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в листе. Добавим элемент <tex>s_is_{i}</tex> в конец последнего ребраподстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case2ExampleUkkonen3.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff" rowspan="2"|''2. Создание листаОтветвление''|style="background:#ffffff"|а) Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_is_{i}</tex>. Создадим новую дугу новый лист, в который из текущей вершины ведёт дуга с началом пометкой <tex>s_{i}</tex>.|style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]]|-|style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l \ldots r]</tex> в элементе позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l \ldots p-1}]</tex> и <tex>s[p \ldots r]</tex> и листом подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_is_{i}</tex>.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case1ExampleUkkonen5.png|300px]]
|-
|style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать''
|style="background:#ffffff"|Пусть подстрока суффикс <tex>s_{j..s[k \ldots i-1}]</tex> кончается заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_is_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо.|style="background:#ffffff"|[[Файл:Case3ExampleUkkonen6.png|300px]]
|}
==Суффиксные ссылки==
{{Определение|definition==Оптимизация алгоритма Укконена== Рассмотрим две леммыПусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, позволяющие ускорить алгоритм Укконена до где <tex>O(n^2)x</tex>.{{---}} её первый символ, а <tex>\alpha<br /tex>===Лемма 1. Стал листом {{---}} листом и останешься ===оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link'').}}{{Лемма|id=l3|about= Существование суффиксных ссылок
|statement=
|proof=
}}
===Лемма 2. Правило 3 заканчивает дело Использование суффиксных ссылок ==={{Лемма[[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]]|statement=В любой фазе, если правило продолжения 3 применяется в продолжении Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс <tex>s[j\ldots i-1]</tex>, оно будет реализовываться во всех дальнейших продолжениях(от до суффикса <tex>s[j + 1\ldots i]</tex> по . Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса <tex>s[j+1 \ldots i + -1]</tex>) в суффиксном дереве, чтобы продлить его до конца фазы. <br />|proof=При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный суффикса <tex>Ss[j..+1 \ldots i]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом . Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>i+1v</tex>, и точно так же продолжается в которую ведёт путь, помеченный <tex>Ss[j + 1..i\ldots r]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях . У вершины <tex>v</tex>j + 1точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, j + 2будет сказано позже, а пока можно просто поверить)..., i + 1Эта суффиксная ссылка ведёт в вершину </tex>}}u<br /tex>Когда используется правило 3, никакой работы делать не нужнокоторой соответствует путь, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать каждую фазу помеченный подстрокой <tex>i s[j+ 1\ldots r]</tex> после первого же использования правила прохождения 3. Если это случится в продолжении j, то уже не требуется явно находить концы строк Теперь от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>Ss[k..j+1 \ldots i-1]</tex> с и продлить его до суффикса <tex>k > s[j+1 \ldots i]</tex>.
{{Определение|definition=== Псевдокод ===Приведенный алгоритм можно записать с помощью псевдокода: '''forГлубиной вершины''' <tex> i \leftarrow 1 d(v)</tex> '''to''' назовем число рёбер на пути от корня до вершины <tex> n v</tex> '''do''' insert(<tex>s_{i..n}</tex>)}
|statement=
|proof=
}}
=== Построение Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок ===
=== Использование суффиксных ссылок =Линейный алгоритм==
{{Лемма|id=l1|about=Стал листом — листом и останешься|statement=Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой <tex>i</tex> (для суффикса, начинающегося в позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex>), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом. <br>|proof= Оценка числа переходов ====Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом <tex>i</tex>, правило продолжения 1 будет применяться для продолжения <tex>i</tex> на всех последующих фазах.}}
{{ОпределениеЛемма|id=l2|definitionabout= <b>Глубиной вершины</b> <tex>d(v)</tex> назовем число ребер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>}} {{ЛеммаПравило 3 заканчивает дело
|statement=
|proof=
}}
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила. Так как лист навсегда останется листом, можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j \ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>. Следовательно, на каждой фазе <tex>i</tex> алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от <tex>j^*</tex> до <tex>k,\ k \leqslant i</tex>, а не от <tex>1</tex> до <tex>i</tex>. Действительно, если суффикс <tex>s[j \ldots i-2]</tex> был продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex> на прошлой фазе по правилу 1, то он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говорит [[#l1 | лемма]]). Если он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, на текущей фазе <tex> i </tex> этот суффикс будет продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex> по листовой вершине. Поэтому после применения правила 3 на суффиксе <tex>s[k \ldots i]</tex> текущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу с <tex>j^* = k</tex>. == Источник = Итоговая оценка времени работы === В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | лемме о размере суффиксного дерева для строки]]. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. Сначала неявно продлятся все листовые суффиксы, а потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, чем их есть, то амортизационно на каждой фазе будет создано <tex>O(1)</tex> вершин. Так как мы на каждой фазе начинаем добавление суффикса не с корня, а с индекса <tex>j*</tex>, на котором в прошлой фазе было применено правило 3, то используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>n</tex> фаз равно <tex>O(n)</tex>. Таким образом, при использовании всех приведённых эвристик алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>. == Минусы алгоритма Укконена ==Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:# Размер суффиксного дерева сильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой ''Дэн Гасфилдmemory bottleneck problem''(другое её название ' — 'thrashing'')<ref>[http://dspace.library.uvic.ca:8080/bitstream/handle/1828/2901/ThesisBarsky16july.pdf?sequence=1 Marina Barsky {{---}} Suffix trees for very large inputs.]</ref>.# Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать другие алгоритмы (например поиск подстроки с помощью [[Префикс-функция | префикс-функции]]).# При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время <tex>O(n \cdot |\Sigma|)</tex>, используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существовании перехода по текущему символу за <tex>O(1)</tex> необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавита в каждой вершине. Поэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объём памяти. Можно сэкономить на памяти, храня в каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет занимать <tex>O(\log |\Sigma|)</tex> времени.# Константное время на одну итерацию {{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.]</ref>, хоть и строит дерево за <tex>O(n \log \log n)</tex>, но на одну итерацию в худшем случае тратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени.# На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<ref>[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</ref>.# Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память. Если же требуется работать с большими размерами данных, то становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево в ней<ref>[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</ref>. == См. также==* [[Алгоритм МакКрейта]]* [[Алгоритм Фарача| Алгоритм Фараx-Колтона]]* [[Суффиксный бор]] ==Примечания== <references /> == Источники информации ==* Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология''' — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.* [http://yury.name/internet/01ianote.pdf Юрий Лифшиц {{---}} Построение суффиксного дерева за линейное время.]* [http://e-maxx.ru/algo/ukkonen MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена]* [http://habrahabr.ru/post/111675/ Habrahabr {{---}} Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Словарные структуры данных]]
[[Категория: Суффиксное дерево]]