244
правки
Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что для любого $n$ найдется такое простое $p$, что существуют натуральные числа $x$, $y$ и $z$, что $x^n+y^n=z^n \pmod p$.
# Докажите усиление теоремы Эрдёша: $R(k, k) \ge \frac{2^{k/2}\cdot k}{e\sqrt{2}}
# Докажите, что для любого достаточно большого $s$ выполнено $R(k, k) \ge s - {s \choose k}\cdot 2^{1-{k \сhoose choose 2}}$
# Докажите, что в любой перестановке $n$ элементов найдется возрастающая последовательность из $\sqrt{n}$ элементов или убывающая последовательнтсть из $\sqrt{n}$ элементов.
# Теорема Ван дер Вардена. Докажите, что для любых $n$ и $k$ найдется такое $W(n, k)$, что если числа от $1$ до $W(n, k)$ покрасить в $k$ цветов, то найдется арифметическая прогрессия длины $n$, покрашенная в один цвет.
