21
правка
Изменения
Нет описания правки
# Изменим алгоритм из предыдущего задания, будем вместо $k$ хранить $2k$ элементов, а в конце оставим $k$ из них. Как изменится вероятность?
# Оцените зависимость вероятности из предыдущих двух заданий от $c$, если вместо $k$ хранится $ck$ элементов, а в конце оставим $k$ из них.
# Обозначим как $BP(n)$ время умножения булевых матриц размера $n \times n$ над $\vee, \wedge$. Обозначим как $MM(n)$ время умножения целочисленных матриц размера $n \times n$ над $+, \times$. Докажите, что $BP(n) = O(MM(n))$.
# Докажите, что можно найти транзитивное замыкание графа за время $O(BP(n))$.
# Пусть $A$ и $B$ - матрицы размера $n \times n$. Пусть $R \subset \{1, 2, \ldots, n\}$, $|R|=r$. Обозначим как $A^R$ матрицу, которая получается из $A$ удалением всех столбцов, кроме столбцов из множества $R$. Аналогично, обозначим как $B_R$ матрицу, которая получается из $B$ удалением всех строк, кроме строк из множества $R$. Докажите, что произведение матриц $A^R\cdot B_R$ может быть найдено за время $O((n/r)^2 MM(r))$, где $MM(r)$ - время умножения матриц размером $r\times r$.
# Пусть $MM(n)=n^{2+\varepsilon}$, $\varepsilon>0$. Модифицируйте алгоритм построения BPWM, чтобы он работал за $MM(n) \log n$. Почему эта идея не сработает, если $MM(n) = O(n^2)$?
# Докажите лемму с лекции про то, что если в урне $n$ шаров, из которых $w$ белых и $n/2\le wr \le n$, а событие $A$ означает, что из $r$ наугад выбранных из урны шаров оказался ровно один белый, то $P(A) \ge 1/2e$.
# Сохраняется ли вероятность из предыдущего задания, если шары после вытаскивания возвращаются в урну? Если нет, то можно ли получить аналогичную оценку?
# Как воспользоваться алгоритмом построения BPWM для поиска кратчайших путей между всеми вершинами в графе?
# Нижняя оценка на сумму длин путей. Докажите, что можно построить граф, в котором $\Omega(n^2)$ пар вершин, расстояние между которыми $\Omega(n)$.
