Изменения
Нет описания правки
<tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>
Пусть <tex>V</tex> - шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> - дифференцируема. Так как шар выпуклое множество, то <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>
<tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}),
\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\delta t}{\delta x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>
<tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex>
<tex>g</tex> - непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(b) - g(a) = g'(\Theta), \quad \Theta \in [0,1]</tex>
Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем :
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\delta f}{\delta x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> - дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда
<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>
Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> - формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.
<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex>
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} = \mathcal{F}'_i(\Theta_i\overline{a}+(1-\Theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.
Для разных <tex>i</tex> - разные <tex>\Theta_i</tex>. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.
