1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<wikitex>Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную не прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $. До конца параграфа $ f $ непрерывна как функция двух переменных. $ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра. ==Установим три простые факта ==# $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.# Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.# $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом. Формула означает смену местами интгралов по двум переменным. === Пункт первый ===Рассмотрим $ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b (f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $: П = $ [a; b] \times [Категорияc; d] $ - компакт, f - непрерывна на нем, следовательно, равномерно непрерывна на нем, то есть $ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: В разработке|\Delta y| < \delta \Rightarrow | f(x, y + \Delta y) - f(x, y)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a; b], y \in [c; d]$ Поэтому, $ |\Delta F| \le \int\limits_a^b \varepsilon dx = (b - a)\varepsilon $ - бесконечно малая. Значит, $ \forall y : \Delta F(y, \Delta y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]0 $, то есть F - непрерывна. === Пункт второй ===$ F(y + \Delta y) - F(y) = \int\limits_a^b ( f(x, y + \Delta y) - f(x, y)) dx $ В силу продположений, и разности под знаком интеграла, можно применять формулу Лагранжа:$ f(x, y + \Delta y) - f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) \Delta y $ По условию, $ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) $ - непрерывна, следовательно, равномерно непрерывна. Имеем $ \frac{F(y + \Delta y) - F(y)}{\Delta y} - \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx= \int\limits_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial y} (x, y + \theta \Delta y) - \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \right) dx $ Далее, к выражениям в скобках применяем равномерную непрерывность и убеждаемся, что интеграл стремится к нулю при $ \Delta y $, стремящемся к 0, следовательно, $ \frac{\Delta F(y, \Delta y)}{\Delta y} \to \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ === Пункт третий ===$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ Если $ f(x, y) $ - непрерывна на прямоугольнике, то оба интеграла существуют. Доказывать будем по формуле Ньютона-Лейбница. $ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \qquad G'(y) = F(y) $ $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) $ $ G(y) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^y f(x, t) dt $, проверим, что это первообразная F. $ G(y) = \int\limits_a^b g(x, y) dx $, где $ g(x, y) = \int\limits_c^y f(x, t) dt $ Написанное равенство можно дифференциировать по формуле Лейбница: $ G'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial g}{\partial y} (x, y) dx $, по теореме Барроу $ \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) = f(x, y) $. $ G'(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx = F(y) $ - то есть, G - одна из первообразных F. $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^b f(x, y) dx = G(d) - G(c) = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $, так как $ G(c) = 0 $ - то нужная формула установлена. </wikitex>
