Изменения

== Некоторые определения =={{Определение|definition=Фигура ограничена, если её можно поместить в прямоугольник.}} <tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex>, <tex>z = f(x, y)</tex> <tex>\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}</tex> <tex>\forall \Pi \supset E</tex>, <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f</tex> Это легко проверить на основе аддитивноти интеграла по прямоугольнику. {{Определение|definition=<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> квадрируема по Жордану, если существует <tex>\iint\limits_E f 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.}} {{Утверждение|statement=Любой прямоугольник квадрируем.<tex>\iint\limits_\Pi 1 dx dy = |\Pi| = (b - a)(d - c)</tex>.}} {{Определение|definition=Кривая <tex>\Gamma</tex> {{---}} Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений и её параметричесуие уравнения {{---}} непрерывные функции.}} == Квадрируемость ==  {{Лемма|author=Жордан|statement=Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на дв части: ограниченную {{---}} 'внутреннюю' и неограниченную {{---}} 'внешнюю'}} {{Теорема|statement=Пусть <tex>\Gamma</tex> {{---}} спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемая фигура.|proof=Для доказательства надо погрузить фигуру в прямоугольник и доказать, что интеграл по нему от функции, равной <tex>1</tex> внутри фигуры и <tex>0</tex> вне фигуры, существует.Для этого надо показать, что <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>. Пусть <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} разбиение <tex>\Pi</tex>. Разделим все клетки на три группы.* <tex>1 : \Pi_{ij} \subset E</tex> (внутренние)* <tex>2 : \Pi_{ij} \not\subset E</tex> (внешние)* <tex>3</tex> {{---}} остальные(пересекающие)  Обозначим за <tex>\Sigma_1</tex>, <tex>\Sigma_2</tex> и <tex>\Sigma_3</tex> суммы разностей сумм Дарбу для первой, второй и третьей групп соотвтственно. Очевидно, каждая клетка попадёт ровно в одну из этих групп. Тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3</tex> На клетках первой группы <tex>\bar f = 1</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_1 = 0</tex>. На клетках второй группы <tex>\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_2 = 0</tex>. В разработкетретьей группе <tex>\sup\bar f = 1</tex>, <tex>\inf\bar f = 0</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\Sigma_3 = \sum\limits_{i, j} \Delta x_i \Delta y_j</tex>, где <tex>\Pi_{ij}</tex> {{---}} в третьей группе. <tex>\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)</tex> <tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) \leq</tex><tex>\frac12\sum\limits_{i, j} \operatorname{rang} \tau \cdot \operatorname{rang} \tau</tex> По определению ранга, принимая во внимание, что ранг {{---}} длина диагонали клетки, <tex>\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}</tex>. Но дуга спрямляемая, поэтому, написанная сумма ограничена.(Почему?)  Тогда <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>}} Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что границы {{---}} спрямляемые дуги. == Неквадрируемые фигуры == Возникает вопрос: "а есть ли вообще неквадрируемые фигуры?". Легко понять, что они есть. Построим аналог функции Дирихле.  Нужно взять прямоугольник и оставить только те точки, координаты которых рациональны. Эта фигура площади не имеет, ибо для каждойточки найдётся точка рядом с ней такая, что хотя бы одна из её координат будет иррациональна. Поэтому, при построении разбиения, нижняя сумма будет нулевой, а верхняя будет равна <tex>S</tex>. Интеграла нет, фигура не квадрируема. == Квадрируемость компакта == Имея понятие квадрируемости, можно писать условия существования интеграла уже через функцию <tex>f</tex>. {{Теорема|statement=Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>|proof=Функция непрерывна <tex>\Rightarrow</tex> равномерно непрерывна.  Возьмём какой-то <tex>\Pi \supset E</tex> и соствим для него разбиение и <tex>\omega(\bar f, \tau)</tex>. Нужно показать, что тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>. Аналогично доказательству квадрируемости фигуры, разобьём все клетки на три типа:<tex>\Sigma_1</tex> (внутри), <tex>\Sigma_2</tex> (пересекают) и <tex>\Sigma_3</tex> (вне). Вторая сумма оценивается за счёт того, что функция ограничена: <tex>\Sigma_2 \leq 2 \cdot </tex> длину границы <tex> \cdot M</tex>. При <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0</tex> это стремится к нулю. Оценим <tex>\Sigma_1</tex>. Из равномерной непрерывности, <tex>M_{ij} - m_{ij} < \varepsilon</tex>. Сумма же площадей клеток не превзойдёт <tex>|\Pi|</tex>. Тогда <tex>\Sigma_1 < \varepsilon |\Pi| \to 0</tex>. Значит, <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.}} == Аддитивность == {{Теорема|about=аддитивность|statement=Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, не имеющих общих внутренних точек. Тогда <tex>\exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f</tex> и <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f</tex>.|proof=Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику.  <tex>E = E_1 \cup E_2</tex>, всё квадрируемо.  <tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_1} f</tex>, <tex>\iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_{\Pi \supset E_2} f</tex> Пусть <tex>\Pi \supset E</tex>. Тогда этот <tex>\Pi</tex> годится для обоих интегралов. Следует обратить внимание на то, что <tex>\bar f</tex> для <tex>E_1</tex> и<tex>\bar f</tex> для <tex>E_2</tex> {{---}} разные функции. Например, первая из них на <tex>E_2</tex> равна нулю, так как <tex>E_1 \cap E_2 = \varnothing</tex>. Определим <tex>\bar f_1</tex> и <tex>\bar f_2</tex>. <tex>\bar f_1(x, y) = \begin{cases}f(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y) \notin E_1\\\end{cases}</tex> Аналогично определим <tex>\bar f_2</tex>. Тогда <tex>\iint\limits_{E_1} f = \iint\limits_\Pi \bar f_1</tex>, <tex>\iint\limits_{E_2}f = \iint\limits_\Pi \bar f_2</tex>. Сложим последние два равенства: <tex>\iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)</tex> Заметим, что <tex>\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f</tex>. Это проверяется простым рассмотрением точки внутри <tex>E_1</tex>, внутри <tex>E_2</tex> и вне <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>. Значит, <tex>\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f</tex>}} === Замечание ===На самом деле, часто, имея в виду рассматриваемый случай, начинают говорить о так называемых 'финитных' функциях, то есть,функциях, которые вне какого-то прямоугольника равны нулю. Их преимущество в том, что они заданы на всей плоскости.Тогда, <tex>\iint\limits_{\mathbb{R}^2} f = \iint\limits_\Pi f</tex>. Тогда всё можно выводить из линейности интеграла. === Обобщение ===  Обобщим предыдущую теорему на случай <tex>p</tex> частей.  Пусть <tex>E = \bigcup\limits_{j = 1}^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f</tex>и <tex>|E_j| = \iint\limits_{E_j} dx dy</tex> {{---}} площадь. Рассмотрим аналог интегральной суммы: <tex>\sum\limits_{j = 1}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>, <tex>P_j \in E_j</tex>. Далее можно называть совокупность таких частей разбиением <tex>E</tex>, замерить максимальный диаметр, назвать это рангом,устремить его к нулю и ставить вопрос о пределе таких сумм, который не должен зависеть от выбора <tex>P_j</tex>. Отличие данной суммы от суммы по прямоугольнику, содержащему <tex>E</tex> заключается в том, что эта сумма описана во внутренних терминах(снаружи от фигуры нет нуля). Здравый смысл подсказывает, что пределом таких сумм и будет искомыйинтеграл.  Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на <tex>E</tex>, это можно сравнивать с интегралом по частям(Чо?). <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |p'' - p'| < \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex> <tex>\operatorname{rang}\tau < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\operatorname{diam} E_j < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\forall p'', p' \in E_j : |p'' - p'| < \delta</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>|f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex> <tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} f - \sum\limits_{j = 1}^p f(P_j)\cdot|E_j| \right| \leq</tex><tex>\sum\limits_{j = 1}^p \iint\limits_{E_j} |f(P) - f(P_j)| dx dy \leq</tex> <tex>\varepsilon \sum\limits_{j = 1}^p |E_j| = \varepsilon |E| \to 0</tex> Сумма интегралов <tex>=</tex> интеграл по фигуре <tex>\Rightarrow</tex><tex>\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>.