315
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> является сжатием с <tex>q=\frac 12</tex>, по теореме Банаха <tex>\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m</tex>. В силу единственности такой точки неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!
}}
<tex>\begin{cases} f(x,y,\alpha)=0\\
g(x,y,\alpha)=0 \end{cases};</tex> отсюда — если существуют <tex>(x_0,y_0,\alpha_0)</tex>, такие, что <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\
g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases};</tex> — верно и <tex>\begin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0</tex>, а сами функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> — непрерывны, то тогда, по доказательству теоремы, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»: <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\
g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};</tex> при некоторых <tex>\delta > 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|<0</tex>, <tex>\forall\alpha</tex> будет иметь единственное решение по переменным <tex>\overline x,\overline y</tex>. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно.<br>
<u>Важное следствие</u>: Пусть <tex>\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0</tex>. Тогда это отображение в окрестности этой точки локально обратимо.
<tex>\vartriangleright</tex>А здесь когда-то, возможно, когда-то будет доказательство<tex>\vartriangleleft</tex>
<references/>
