1679
правок
Изменения
м
→Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциирования.
<tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =
\sum\limits_{1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(xc))</tex>
Так как <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится, а <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(c))</tex> - сходится по последнему равенству, то по линейности рядов записав <tex>f_n(x)=(f_n(x)-f_n(xc))+f_n(c)</tex>, получим, что
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(x)</tex> - сходится. Для всех <tex>f(x)</tex> получаем
<tex>\int\limits_{c}^{x}g(t)dt = f(x)-\sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex>
Функция слева дифференцируема, тогда по теореме Барроу, значит производная есть у функции справа : <tex>g(x) = f'(x)</tex>, чтосовпадает с тем, что надо было доказать.
}}
