Изменения

== Примеры разложения функций ==

Приведем классические разложения, некоторые обоснуем.

Рассмотрим $ y = e^x; \qquad (e^x)^{(p)} = e^x $

Полагаем $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $

Рассмотрим $ f = ln(1 + x) $ и разложим ее в степенной ряд другим приемом.

Впервые разложение $\ln 2$ было найдено Лейбницем. Для доказательства можно было применить тауберову теорему Харди + суммирование расходящихся рядов.

Установим классическую асимптотическую формулу Стирлинга для факториала:

{{Утверждение

$a^2 = 2 \pi \Rightarrow a = \sqrt{2 \pi} $

}}

Поступая аналогично, можно разложить тригонометрические функции sin и cos и обратить внимание на ограниченность $ \sin^{(n)} (x) \Rightarrow r_n(x) \to 0 \quad \forall x $.

$ \sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \sin(y) \cos(x) $

Первым примером разложения в ряд был бином Ньютона с дробным показателем. Формула Тейлора, $ r_n \to 0 $ когда $|x| < 1 $.