Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition = <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <…»
{{Определение
|definition =
<tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex>.
}}
{{Лемма
|statement = <tex>M = \langle X, I \rangle, f \colon X \to Y</tex>. Тогда <tex>M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом.
|proof =
Докажем аксиомы независимости для <tex> I_1 </tex>.
1. <tex>\varnothing \in I_1</tex>
<tex> \varnothing = f(\varnothing) \in I_1 </tex>
2. <tex>B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1</tex>
<tex>A \in I_1</tex>, значит <tex>\mathcal {9} S, S \in I</tex>. <tex>B = f(S \setminus f^-1 (A \setminus B)), (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \subset S \rightarrow (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \in I</tex>. Значит <tex>B \in I_1</tex>.
3. Пусть <tex> A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), \mid A \mid > \mid B \mid </tex>. Докажем, что <tex> \mathcal {9} y \in A \setminus B, B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1</tex>
<tex>A = f(S) \rightarrow \mathcal {9} S_1 \subset S, A = f(S_1), \mid S_1 \mid = \mid A \mid </tex>.
<tex>B = f(T) \rightarrow \mathcal {9} T_1 \subset T, B = f(T_1), \mid T_1 \mid = \mid B \mid </tex>.
<tex>S_1 \in I, T_1 \in I</tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>.
<tex> \mid S_1 \mid > \mid T_1 \mid </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\mathcal {9} x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) \in I_1</tex>.
<tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex>. Значит <tex>\mathcal {9} y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1</tex>
}}
{{Теорема
|statement = Объединение матроидов является матроидом
|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения матроидов. Из леммы знаем, что <tex>M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2. Тогда по лемме <tex>M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.
}}
|definition =
<tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex>.
}}
{{Лемма
|statement = <tex>M = \langle X, I \rangle, f \colon X \to Y</tex>. Тогда <tex>M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом.
|proof =
Докажем аксиомы независимости для <tex> I_1 </tex>.
1. <tex>\varnothing \in I_1</tex>
<tex> \varnothing = f(\varnothing) \in I_1 </tex>
2. <tex>B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1</tex>
<tex>A \in I_1</tex>, значит <tex>\mathcal {9} S, S \in I</tex>. <tex>B = f(S \setminus f^-1 (A \setminus B)), (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \subset S \rightarrow (S \setminus f^-1 (A \setminus B)) \in I</tex>. Значит <tex>B \in I_1</tex>.
3. Пусть <tex> A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), \mid A \mid > \mid B \mid </tex>. Докажем, что <tex> \mathcal {9} y \in A \setminus B, B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1</tex>
<tex>A = f(S) \rightarrow \mathcal {9} S_1 \subset S, A = f(S_1), \mid S_1 \mid = \mid A \mid </tex>.
<tex>B = f(T) \rightarrow \mathcal {9} T_1 \subset T, B = f(T_1), \mid T_1 \mid = \mid B \mid </tex>.
<tex>S_1 \in I, T_1 \in I</tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>.
<tex> \mid S_1 \mid > \mid T_1 \mid </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\mathcal {9} x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) \in I_1</tex>.
<tex>f(T_1 \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex>. Значит <tex>\mathcal {9} y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal{f} y \mathcal {g} \in I_1</tex>
}}
{{Теорема
|statement = Объединение матроидов является матроидом
|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения матроидов. Из леммы знаем, что <tex>M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g}, I = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal {f} 1 \mathcal {g} \cup X_2 \times \mathcal {f} 2 \mathcal {g} \to X_1 \cup X_2. Тогда по лемме <tex>M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal {f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.
}}
