Изменения
Нет описания правки
В этой статье рассматриваются алгоритмы сортировки сравнением. В таких алгоритмах единственным действием с элементами массива является их сравнение. Значения самих элементов или иная информация о них не доступна.
{{
Теорема
|about=о нижней оценке для сортировки сравнениями
|statement=В наихудшем случае в ходе выполнения любого алгоритма сортировки сравнением выполняется <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, где <tex>n</tex> - число элементов массива.
|proof=Во-первых, будем считать целью нашего алгоритма определить исходную перестановку, после её определения сортировка сведется к нахождению обратной перестановки. Будем искать наихудший случай для алгоритма среди всех возможных перестановок чисел от 1 до <tex>n</tex>, таким образом у каждого сравнения всего два возможных исхода - <tex>a_i < a_j</tex> или <tex>a_i > a_j</tex>.
Рассмотрим некоторое состояние нашего алгоритма. В этом состоянии уже известны результаты каких-то сравнений, и в зависимости от них делается следующее, после чего алгоритм переходит в одно из двух состояний. Кроме того, алгоритм может остановиться, если исходная перестановка будет однозначно установлена. Заметим, что этот процесс можно описать двоичным деревом, узлы которого будут соответствовать состояниям, листья - определенным входным перестановкам, а ребра - результатам сравнений. Заметим так же, что число листьев у этого дерева должно быть не меньше <tex>n!</tex>, иначе одна из перестановок не сможет быть определена.
Число сравнений в наихудшем случае будет равно глубине этого дерева, поэтому осталось показать, что эта глубина есть <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Для этого заметим, что у двоичного дерева глубины <tex>n</tex> листьев не больше <tex>2^n</tex> (в случае полного двоичного дерева), т. е. у двоичного дерева с <tex>n</tex> листьям глубина по крайней мере <tex>\lceil \log_2 n \rceil</tex>. Осталось оценить <tex>\log_2 n = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex><tex>n/2 \log_2 (n/2) = n/2(\log_2 n - 1)=O(n \log n)</tex>
Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, ч. т. д.
}}
{{
Теорема
|about=о нижней оценке для сортировки сравнениями
|statement=В наихудшем случае в ходе выполнения любого алгоритма сортировки сравнением выполняется <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, где <tex>n</tex> - число элементов массива.
|proof=Во-первых, будем считать целью нашего алгоритма определить исходную перестановку, после её определения сортировка сведется к нахождению обратной перестановки. Будем искать наихудший случай для алгоритма среди всех возможных перестановок чисел от 1 до <tex>n</tex>, таким образом у каждого сравнения всего два возможных исхода - <tex>a_i < a_j</tex> или <tex>a_i > a_j</tex>.
Рассмотрим некоторое состояние нашего алгоритма. В этом состоянии уже известны результаты каких-то сравнений, и в зависимости от них делается следующее, после чего алгоритм переходит в одно из двух состояний. Кроме того, алгоритм может остановиться, если исходная перестановка будет однозначно установлена. Заметим, что этот процесс можно описать двоичным деревом, узлы которого будут соответствовать состояниям, листья - определенным входным перестановкам, а ребра - результатам сравнений. Заметим так же, что число листьев у этого дерева должно быть не меньше <tex>n!</tex>, иначе одна из перестановок не сможет быть определена.
Число сравнений в наихудшем случае будет равно глубине этого дерева, поэтому осталось показать, что эта глубина есть <tex>\Omega(n \log n)</tex>. Для этого заметим, что у двоичного дерева глубины <tex>n</tex> листьев не больше <tex>2^n</tex> (в случае полного двоичного дерева), т. е. у двоичного дерева с <tex>n</tex> листьям глубина по крайней мере <tex>\lceil \log_2 n \rceil</tex>. Осталось оценить <tex>\log_2 n = \log_2 1 + \log_2 2 + \ldots + \log_2 n ></tex><tex>n/2 \log_2 (n/2) = n/2(\log_2 n - 1)=O(n \log n)</tex>
Итак, для любого алгоритма сортировки сравнениями существует такая перестановка, на которой он выполнит <tex>\Omega(n \log n)</tex> сравнений, ч. т. д.
}}
