689
правок
Изменения
м
{{Определение
|definition=
}}
Лучей ненависти тем, кто не пишет, что \varepsilon > 0. Ошибки в конспекте нет, см. обсуждение.
изолированно.
Пусть на <tex>E</tex> <tex>f_n</tex> обладает свойством <tex>P</tex>(например, непрерывность на <tex>E</tex>). И пусть для любого <tex>x \forall xin E </tex> есть сумма рядапредел соответствующей числовой последовательности. Возникает вопрос: "Будет ли <tex>f = \sum lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n</tex> обладать свойством <tex>P</tex>?"
Приведем пример, показывающий, что если требовать лишь поточечной сходимости, то для <tex>\sum f_nf </tex>
свойство <tex>P</tex> может отсутствовать.
|definition=
<tex>f_1, f_2, \ldots</tex> равномерно сходится к <tex>f(x)</tex>, если
<tex>\forall \varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
Пишут, что <tex>f_n \rightrightarrows f</tex>.
}}
Пусть на <tex>E</tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n</tex>. Тогда он равномерно сходится к
<tex>f = \sum f_n</tex>, если
<tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in E : |s_nS_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>
}}
Далее всё будем писать на языке функциональных рядов, так как они их наиболее используемый аппарат удобно использовать в математическом анализе, и вообще это очень круто и популярно.
== Критерий Коши равномерной сходимости ==
{{Теорема
|about=Критерий Коши равномерной сходимости
|statement=Ряд равномерно сходится на <tex>E</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m \geq n > N\ \forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| < \varepsilon</tex>
|proof=
<tex>\Longrightarrow</tex> Пусть ряд равномерно сходится.
<tex>\sum\limits_{k = n}^m f_k = s_m S_m - s_S_{n - 1}</tex>
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m \right| = |(s_m S_m - sS) - (s S - s_S_{n - 1})|</tex>, где <tex>sS</tex> {{---}} сумма ряда. Тогда
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq |s_m S_m - sS| + |s_S_{n - 1} - sS|</tex>
По определению равномерной сходимости, <tex>\forall \varepsilon\ \exists N\ \forall p > N\ \forall x \in E : |s_pS_p(x) - sS(x)| < \varepsilon</tex>.
<tex>m,n - 1 < > N </tex>
В силу предыдущего неравенства, <tex>\forall x \in E : \left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq 2\varepsilon</tex>, то есть,
<tex>\Longleftarrow</tex> Пусть выполняется условие критерия Коши.
<tex>\forall x \in E</tex> для <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty f_n(x)</tex> выполняется критерий Коши сходиммости числовых рядов.
Значит, этот ряд сходится. На всем <tex>E</tex> определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.
Как и в первой половине доказательства,
<tex>|s_mS_m(x) - s_S_{n - 1}(x)| \leq \varepsilon</tex>, но <tex>s_pS_p(x) \to sS(x)</tex>. В неравенстве с <tex>\varepsilon</tex> <tex>X</tex> можно подставлять любой фиксированный <tex>x</tex>. Устремим <tex>m \to \infty</tex>: <tex>\forall n > N\ \forall x \in E : |s_nS_n(x) - sS(x)| \leq \varepsilon</tex>
Значит, определение равномерной сходимости проверено.
Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)
Можно рассматривать <tex>\sum\limits_{n = 1}^\infty |f_n|</tex> и при этом сохраняется терминология числовых рядов,
связанная с абсолютной и условной сходимостью.
Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.
{{УтверждениеТеорема
|author=Вейерштрасс
|statement=
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x) \right|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m |f_k(x)|</tex> <tex>\leq \sum\limits_{k = n}^m a_k</tex>
<tex>\sum\limits_{k = n}^m a_k < +\infty \Rightarrow \forall\varepsilon\ > 0\ \exists N\ \forall m \geq n > N : \sum\limits_{k = n}^m a_k < \varepsilon</tex>
Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно <tex>\forall x</tex>,
<tex>\left|\sum\limits_{k = n}^m f_k(x)\right| \leq < \varepsilon</tex>. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.
}}
