689
правок
Изменения
м
== Квадрируемость ==
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Фигура '''ограничена''', если её можно поместить в некоторый конечный прямоугольник.
}}
Будем рассматривать интеграл на '''фигуре''' <tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex>, от функции <tex>z = f(x, y)</tex>
<tex>\bar f(x, y) = \begin{cases}f(x, y) , & (x, y) \in E \\0 , & (x, y) \notin E \\\end{cases}</tex>
<tex>\forall \Pi \supset E</tex>, <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f</tex>
Это легко проверить на основе аддитивноти аддитивноcти интеграла по прямоугольнику. == Квадрируемость ==
{{Определение
|definition=
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E f 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
}}
Далее мы установим квадрируемость некоторых фигур.
{{Утверждение
{{Определение
|definition=
Кривая <tex>\Gamma</tex> {{---}} Жорданова дуга, если она не имеет самопересечений , и её параметричесуие параметрические уравнения {{---}} непрерывные функции.
}}
{{Лемма
|author=Жордан|statement=Любая замкнутая жорданова дуга разбивает плоскость на дв две части: ограниченную {{---}} 'внутреннюю' и неограниченную {{---}} 'внешнюю'.
}}
<tex>\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)</tex>
<tex>\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_3 \leq \frac12(\sum\limits{i,j} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2} \cdot \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}) \leq</tex><tex>\frac12\sum\limits_{i, j} \operatorname{rang} \tau \cdot \operatorname{rang} \tau</tex>
По определению ранга, принимая во внимание, что ранг {{---}} длина диагонали клетки,
<tex>\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname{rang} \tau \cdot \sum\limits_{ij} \sqrt{\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2}</tex>.
Но дуга спрямляемая, то есть, имеет конечную длину, поэтому, написанная сумма ограничена.(Почему?)
Тогда <tex>\operatorname{rang}\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>
}}
Из этой теоремы мгновенно получаем, что треугольники, круги и прочие элементарные фигуры квадрируемы, потому что их границы {{---}} спрямляемые дуги.
== Неквадрируемые фигуры ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>.
|proof=
Функция непрерывна на компакте <tex>\Rightarrow</tex> равномерно непрерывна.
Возьмём какой-то <tex>\Pi \supset E</tex> и соствим составим для него разбиение и <tex>\omega(\bar f, \tau)</tex>.
Нужно показать, что тогда <tex>\omega(\bar f, \tau) \to 0</tex>.
|about=аддитивность
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируема и разделена на две квадрируемых фигуры <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex>, не имеющих общих внутренних точек. Тогда <tex>\exists\iint\limits_Ef\iff\exists\iint\limits_{E_1}f, \exists\iint\limits_{E_2} f</tex> и <tex>\iint\limits_E f = \iint\limits_{E_1} f + \iint\limits_{E_2} f</tex>.
|proof=
Покажем, что аддитивность выводится из линейности интеграла по прямоугольнику.
интеграл.
Если, например, потребовать равномерной непрерывности функции на <tex>E</tex>, это можно сравнивать с интегралом суммой интегралов по частям(Чо?)фигуры.
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : |p'' - p'| < \delta \Rightarrow |f(p'') - f(p')| < \varepsilon</tex>
Сумма интегралов <tex>=</tex> интеграл по фигуре <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\iint\limits_E f = \lim\limits_{\operatorname{rang}\tau \to 0} \sum\limits_{j = 0}^p f(P_j) \cdot |E_j|</tex>.
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
