1679
правок
Изменения
м
заменил g на h - это все-таки разные функции, хотя в конспектах обозначены одной буквой g
Если поменять местами операции, то мы получим то же самое (после раскрытия скобок). Цель доказательства — перезаписать это арифметическое равенство в частных производных второго порядка. Появятся дополнительные параметры, которые должны сократиться, и в итоге мы получим <tex>\Delta_x \Delta_y f=\Delta_y \Delta_x f</tex>.
Введём функцию : <tex>g(t)=f(t,y+\Delta y)-f(t,y)</tex>.
<tex>\Delta _x \Delta _y f=g(x+\Delta x)-g(x)=g'(x+\theta \Delta x)\Delta x</tex>
<tex>\Delta _x \Delta _y f=\left ( \frac {\partial f}{\partial x} ( x + \theta_1 \Delta x,y+\Delta y ) - \frac {\partial f}{\partial x}( x + \theta_1 \Delta x,y) \right )\Delta x</tex>
Введем функцию: <tex>gh(t)=\frac {\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,t)</tex>
<tex>\Delta _x \Delta _y f=(gh(y+\Delta y)-gh(y))\Delta x=gh'(y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>
<tex>gh'(t)=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,t)</tex>
<tex>\Delta _x \Delta _y f=\frac {\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2 \Delta y) \Delta x \Delta y</tex>
