689
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<tex>f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)</tex>, <tex>A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k</tex>,
<tex>f(x) = S_n(x) + R_n(x)</tex> , где <tex>R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}f_k(x) </tex>
Аналогично : <tex>A = S_n + R_n</tex>, где <tex>R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}A_k </tex>
Надо доказать, что <tex>\lim \limits_{x \to a} f(x) = A</tex>. Составляем модуль разности : <tex>|f(x) - A| = </tex>
Пусть <tex>g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>.
Ряд из <tex>f_n'</tex> - равномерно сходится, следовательно <tex>g</tex> непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle </tex>, тогда по теореме о почленном интегрировании функцию можно записать в виде :
<tex> \int\limits_{c}^{x}g(t)dt = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_{c}^{x}f_n'(t)dt =
