168
правок
Изменения
Нет описания правки
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
}}
== Вопрос №28. Норма линейного оператора==
{{Определение
|definition=
Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>.
}}
== Вопрос №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек==
{{Определение
|definition=
'''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex> H </tex> - гильбертово пространство.
{{TODO|t=точно так?}}
}}
{{Теорема
|statement=
Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами:
# <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>
# <tex>\left \| f \right \| = 1</tex>
== Вопрос №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость==
{{Утверждение
|about=
покоординатная сходимость в <tex>\mathbb R^n</tex>
|statement=
Пусть дана последовательность <tex>\overline x^{(m)} \in \mathbb R^n</tex>. Тогда <tex>\overline x^{(m)} \rightarrow \overline x</tex> в <tex>\mathbb R^n</tex> тогда и только тогда, когда для любого <tex>j \in 1,\dots,n</tex> последовательность <tex>\overline x_j^{(m)} \rightarrow \overline x_j</tex>
}}
== Вопрос №31. Полнота R^n==
{{Теорема
|statement=
Пространство <tex>\mathbb R^n</tex> с евклидовой нормой является B-пространством.
|proof=
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме <tex>\mathbb R^n</tex>.
Если <tex>\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0</tex>, то для любого <tex>j</tex> выполняется <tex>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0</tex>. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей <tex>x_j^{(m)}</tex> имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно.
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
}}
== Вопрос №32. Критерий компактности в R^n==
== Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов==
== Вопрос №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex>\left \| \Delta x \right \| < r (x + \Delta x \in V_r(x))</tex>, то:
<tex> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left \| \Delta x \right \| </tex>,
причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}} '''производная Фреше''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Данный предел называется '''частной производной''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\partial \mathcal{F}_i}{\partial x_j}</tex>
}}
== Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных==
