1679
правок
Изменения
м
→Теорема о неявном отображении: добавлено чуть-чуть понятности. ксати, если tex автоматически ставит пробелы, это не значит, что не надо
<tex> \Longleftarrow </tex> Пусть теперь <tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Тогда <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex>, следовательно, <tex>det \Gamma_0 \ne 0</tex>, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и <tex>f(\overline x, \overline y)=0^m</tex>
Пусть <tex>T(\overline x, \overline y)=\overline y-\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>, тогда <tex>\overline y = T(\overline x,\overline y)</tex>.
Для фиксированного <tex> x </tex> получаем задачу на неподвижную точку для отображения <tex>T</tex> по переменной <tex>\overline y</tex> для фиксированного.
Воспользуемся для решения принципом сжатия Банаха. Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия?
<tex>TT_{\overline y}'=J-\Gamma_0f_yGamma_0 f_{\overline y}';~\Gamma_0f_yGamma_0 f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J</tex>(по определению <tex> \Gamma_0 </tex>. Значит, <tex>T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0</tex>.
По условию, <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline x, \overline y</tex>, следовательно, <tex>T'</tex> — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex> \varepsilon=\frac 12,\exists \delta>0 </tex>
<tex> \|\overline{\mathcal 4 x}\|,\|\overline{\mathcal 4 y}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12</tex>
Возьмем <tex>V_{\delta}(\overline{x_0}),\ W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> такие, что при <tex>\| T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \| \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})</tex>
По неравенству Лагранжа <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in \{y',y''\}}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|</tex>. Но по выбору шаров этот <tex>\sup \le \frac 12</tex> и, таким образом, в наших условиях <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|</tex>.
