168
правок
Изменения
Нет описания правки
</wikitex>
== Вопрос №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса==
<wikitex>
{{Теорема
|author=
Вейерштрасс
|about=
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
</wikitex>
== Вопрос №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность==
<wikitex>
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $
</wikitex>
== Вопрос №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование==
<wikitex>
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $
</wikitex>
== Вопрос №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование==
<wikitex>
\int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $
</wikitex>
== Вопрос №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера==
<wikitex>
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.
</wikitex>
== Вопрос №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования==
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex>
<tex>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex>
{{Определение
|definition=
Двойной интеграл <tex>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex>
}}
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>,
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
если <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex> \Pi </tex>, то существует <tex>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).
