152
правки
Изменения
→Пространство последовательностей
Для начала установим, что <tex>(x, y) = \sum\limits_{j = 1}^\infty x_j y_j</tex> имеет конечные значения (когда <tex>x</tex>, <tex>y</tex> — элементы <tex>\ell^2</tex>). По свойствам рядов достаточно доказывать сходимость ряда из модулей.
По неравенству Шварца для <tex>\mathbb R^n</tex> (где <tex>n</tex> — произвольно): <tex>\left| \sum\limits_{j = 1}^n |x_j| \cdot |y_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \cdot \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n y_j^2}</tex>.
<tex>\sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n x_j^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^\infty x_j^2}</tex>, следовательно, частичные суммы рассматриваемого ряда ограничены некоторой константой. Но, так как ряд положительный, то он сходится.
Один шар можно получить сдвигом и параллельным переносом из другого, значит, любой шар в <tex> \ell^2 </tex> - некомпактен.
В <tex> \mathbb{R}^n </tex> - любой шар компактен, так как его можно погрузить в компактный параллелепипед(по т. Хаусдорфа).
Остутсвие в <tex> \ell^2 </tex> компактности шаров - принциальное отличие бесконечномерной ситуации.
В частности, так как <tex> l_1, \dots, l_n, \dots </tex> - ОНС в <tex> H </tex>(гильбертово), то <tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k </tex> {{---}} ортогональный ряд.
===Теорема Пифагора===
{{Теорема
|author=Пифагор
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} x_k </tex> - сходящийся ортогональный ряд <tex> \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \| x_k \|^2 < + \infty </tex>.
Применим теорему к ортогональному ряду из ОНС:
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k l_k, \ \| \alpha_k l_k \|^2 = \alpha_k ^2 </tex>
<tex> \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \alpha_k^2 < + \infty </tex>
Значит, если написанный ортогональный ряд сходится, то он будет рядом Фурье своей суммы. Убедимся, что любой ряд Фурье сходится, однако не всегда к той же точке <tex> x </tex>, для которой он построен. Этот факт базируется на следующем неравенстве:
===Теорема Бесселя===
{{Теорема
|author=
