Изменения

<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>

|proof=

<tex>a = a_0 < a_1 \ldots < a_n = b</tex>

<tex>\tau = \tau_1 \times \tau_2</tex> {{---}} разбиение прямоугольника <tex>\Pi</tex>.

В силу специфики выбора <tex>\tau_1</tex> и <tex>\tau_2</tex> ясно, что каждая клетка <tex>\Pi_{ij}</tex> разбивается в свою очередь на часть клеток разбиения <tex>\tau</tex>.

<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex>, то есть, для специального разбиения всё доказано.

Занумеруем границы сторон <tex>\Pi_k</tex> в порядке возрастания их координат по вертикали. Так же сделаем с горизонталью. В результате получим