Изменения

Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} , m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex>

Л.о. непрерывен в Xточке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex>

Пусть <tex> \lim\limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( \Deltax Delta x \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0</tex>

<tex> \left \| \mathcal{A}( x + \Delta x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \Deltax Delta x \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \Deltax Delta x \right) \right \| \xrightarrow [\Deltax Delta x \to 0]{} 0 </tex>

Значит, <tex>\mathcal{A} \left ( x + \Delta x \right )\xrightarrow [\Deltax Delta x \to 0]{} \mathcal{A}(x) </tex>, и <tex> \mathcal{A} </tex> непрерывен в <tex> x </tex> по определению.

#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Deltax Delta x \to 0]{} 0 </tex>.

# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, тогда в частности, в <tex> 0 = \lim \limits_{x \to 0} \mathcal{A}(x) </tex>, тогда:#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| x z \right \| \le \delta</tex> и, значит, при <tex>\Deltax \to 0 Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(xz) \right \| \le \varepsilon = 1</tex>#: * Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.#* Для <tex>\forall x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|} .\quad</tex>. &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>#: Очевидно, это верно и для <tex>x = 0</tex>. Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, поэтому и получим, что оператор ограничен.

\left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} \left (\overline {x_kx} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) </tex>

{{Утверждение|statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>|proof=<tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> до и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>.

<tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|^2</tex>

Для <tex> x_0 = 0 </tex> подойдет любой линейный функционал, такой, что <tex> \|xf\| = 1 </tex>, поэтому рассмотрим <tex> x_0 \ne 0 </tex>.

Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство(гильбертово). Фиксируем <tex> y \in H </tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. <tex>f </tex> — линейный функционал.