Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|about=
Дифференцирование сложной функции
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений. Пусть <tex>\mathcal{F} : V_ry = f(x) \to Y</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, y <tex>y_0 = \mathcal{F}f(xx_0), \mathcal{G} : V_{r_1}</tex>. Пусть <tex>z = g(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда и её производная равна <tex>\exists \mathcal{T}z'(x) = \mathcal{G}g'(yy_0)\mathcal{F}f'(xx_0)</tex>.
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
}}
Вот же оно!
{{Теорема
|about=
Дифференцирование сложной функции
|statement=
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
|proof=
По определению дифференциала
<tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и
