152
правки
Изменения
→Теорема о неявном отображении
<tex>f_{\overline y}'</tex> зависит и от <tex>\overline x</tex>, и от <tex>\overline y</tex>. <tex>f_{\overline y}'</tex> — линейный оператор, поэтому непрерывность <tex>f_{\overline y}'</tex> понимается в метрике линейного оператора:
{{Определение
|definition=
Непрерывность линейного оператора:
<tex>\forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|<\delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|<\varepsilon</tex>
}}
<tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> — матрица, размером <tex>m\times m</tex>. Оператор непрерывно обратим в <tex>(\overline x,\overline y) </tex>, то есть, у матрицы этого оператора существует обратная (её детерминант не равен нулю).
По условию, <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline x, \overline y</tex>, следовательно, <tex>T'</tex> — тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex> \varepsilon=\frac 12,\exists \delta>0 </tex>
<tex> \|\overline{\mathcal 4 xx_0}\|,\|\overline{\mathcal 4 yy_0}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12</tex>
Возьмем <tex>V_{\delta}(\overline{x_0}),\ W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> такие, что при <tex> \| T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \| \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}):</tex> <tex> \| T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \| \le \frac 12 </tex>
<b>2 этап:</b> На первом этапе найден коэффициент сжатия: <tex>\frac 12</tex>. Если проверить для <tex>T</tex> условия теоремы Банаха по <tex>\overline y</tex> в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у <tex>T</tex> окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения и теорема будет доказана.
