Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения

Равномерно сходящийся ряд

Неправильное определение. Нужно расписывать через ряды, а не функции.

Определение:

Последовательность функций [math] f_1(x), f_2(x), ... , f_n(x) [/math] называется равномерно сходящейся на множестве [math] X [/math], если существует предельная функция [math] f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ (x \in X ) [/math] и для любого числа [math] \varepsilon \gt 0 [/math] можно указать число [math] N = N(\varepsilon) [/math] такое, что [math] |f(x) - f_n(x) | \lt \varepsilon [/math] при [math] n \gt N [/math] и [math] x \in X [/math]. В этом случае пишут [math] f_n(x) \rightrightarrows f(x) [/math]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [math] X [/math], если равномерно сходится на этом множестве последовательность его частичных сумм.

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

[math] \exists R [/math] [math] 0 \lt R \lt + \infty [/math] при

[math] |z - z_0| \lt R [/math] сходится

[math] |z - z_0| \gt R [/math] расходится

Формула Адамара

Определение:

Число [math] R [/math] — радиус сходимости. [math] R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{a_n}} [/math]

Комплексная производная

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \mathbb{C} [/math]. Тогда [math] f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} [/math].

Экспонента, синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(iz)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(iz)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in \operatorname{Int} D, \ k \in [1 : n] [/math]. Производная [math] \frac{\partial f}{\partial e^k} (x) [/math] (где [math] e^k [/math] — это орт (т.е. единичный вектор — вектор, норма которого равна 1)) называется частной производной функции [math] f [/math] по [math] k [/math]-ой переменной в точке [math] x [/math] и обозначается ещё [math] D_k f(x), \ D_{x_k} f(x), \ f'_{x_k} (x), \ \frac{\partial f}{\partial x_k} (x) [/math].

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона или оператором Набла.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Определение:

Предположим, что [math] r - a \in \mathbb{R} [/math] и частные производные порядка [math] r - 1 [/math] уже определены. Пусть [math] i_1, ... , i_r \in [1 : n], \ f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x \in D [/math]. Частная производная функции [math] f [/math] порядка [math] r [/math] по переменным с номерами [math] i_1, ..., i_r [/math] в точке [math] x [/math] определяется равенством [math] D_{i_1, ..., i_r}^r f(x) = D_{i_r} (D_{i_1, ..., i_{r - 1}}^{r-1} f)(x) [/math], если правая часть существует.

Классы функций $C^k(E)$

Определение:

Множество функций, [math] r [/math] раз непрерывно дифференцируемых на открытом подмножестве [math] D [/math] пространства [math] \mathbb{R}^n [/math], обозначается [math] C^{(r)} (D) [/math] или [math] C^r (D) [/math]. По определению [math] C^0 (D) = C(D) [/math] — класс непрерывных на [math] D [/math] функций. Через [math] C^{(\infty)} (D) [/math] обозначается класс бесконечно дифференцируемых на [math] D [/math] функций.

Мультииндекс и обозначения с ним

Определение:

Вектор [math] k \in \mathbb{Z}_+^n [/math] называют мультииндексом. Величину [math] (k) = k_1 + ... + k_n [/math] называют высотой мультииндекса [math] k [/math].

Если [math] k = (k_1, .., k_n) [/math] — мультииндекс, [math] (k) \leqslant r [/math], то частную производную порядка [math] k [/math] (порядком частной производной называют как сам мультииндекс, так и его высоту) функций класса [math] C^{(r)} [/math] обозначают [math] D^k f, \ f^{(k_1, ..., k_n)}, \ f^{(k)} [/math]. Также полагают [math] k! = k_1 ! \cdot ... \cdot k_n ! [/math], [math] h^k = h_1^{k_1} \cdot ... \cdot h_n^{k_n} [/math], где [math] h \in \mathbb{R}^n [/math].

Формула Тейлора (различные виды записи)

Из теорем:

[math] f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (x + \theta h)}{k!} h^k [/math]

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n [/math]

С остатком в интегральной форме:

[math] f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + \int\limits_0^1 \sum_{(k) = r + 1} \frac{r + 1}{k!} f^{(k)} (x + th) h^k (1 - t)^r dt [/math]

Формула в дифференциалах:

[math] f(x + h) = \sum_{l=0}^{r} \frac{1}{l!} d^l f(x, h) + \frac{1}{(r+1)!} d^{r + 1} f(x + \theta h, h) [/math]

Формула в координатах:

[math] f(x, y) = \sum_{l=0}^r \frac{1}{l!} \sum_{\nu = 0}^{l} C_l^{\nu} \frac{\partial^l f(x^0, y^0)}{\partial x^{\nu} \partial y^{l - \nu}} (x - x^0)^{\nu} (y - y^0)^{l - \nu} + o((\sqrt{(x - x^0)^2 + (y - y^0)^2} )^r), \ (x , y) \to (x^0, y^0) [/math]

$n$-й дифференциал

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}, \ f \in C^r(\mathbb{R}^m) [/math]. Тогда: [math] df(a) = f'_{x_1}(a) dx_1 + ... + f'_{x_m}(a)dx_m [/math] [math] d^2f(a) = d(df(a)) = f''_{x_1, x_1} dx_1 dx_1 + f''_{x_1, x_2} dx_1 dx_2 + f''_{x_2, x_1} dx_2 dx_1 + ... [/math] [math] d^3f(a) = d(d^2f(a)) = ... [/math] [math] d^r f(a) = \sum c_{i_1, ..., i_r} \frac{\partial^r f(a)}{\partial x_{i_1} \cdot ... \cdot x_{i_r}} dx_{i_1} \cdot ... \cdot dx_{i_r} [/math], где [math] c_{i_1, ..., i_r} [/math] — количество способов получить дифференциал, выбирая разный порядок.

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{|x| \leqslant 1}{\sup} |Ax| [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ x_0 \in D [/math]. Если существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math] выполняется неравенство: [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой максимума функции [math] f [/math]; [math] f(x) \lt f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой строгого максимума функции [math] f [/math]. Аналогично определяются точки минимума и строгого минимума. Если [math] x_0 [/math] является точкой (строгого) максимума или минимума функции [math] f [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой (строгого) экстремума [math] f [/math].

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Определение:

Пусть [math] K [/math] — квадратичная форма от [math] n [/math] переменных. 1) Если [math] K(h) \gt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно определённой. 2) Если [math] K(h) \lt 0 [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n \backslash \{ \mathbb{O}_n \} [/math], то форма [math] K [/math] называется отрицательно определённой. 3) Если форма [math] K [/math] принимает значения разных знаков, то [math] K [/math] называется неопределённой. 4) Если [math] K(h) \geqslant 0 \ (K(h) \leqslant 0) [/math] для всех [math] h \in \mathbb{R}^n [/math] и существует такое [math] h \neq \mathbb{O}_n [/math], что [math] K(h) = 0 [/math], то форма [math] K [/math] называется положительно (отрицательно) полуопределённой.

Диффеоморфизм

Определение:

Отображение [math] F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] O [/math] открыто, называется диффеоморфизмом, если оно дифференцируемо в [math] O [/math], обратимо, и обратное к нему тоже дифференцируемо.

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Теорема:

Дана система из [math] n [/math] уравнений для функций от [math] m + n [/math] переменных. Функции дифференцируемы [math] n [/math] раз. [math] \begin{cases} f_1(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \\ ... \\ f_n(x_1, ..., x_m, y_1, ..., y_n) = 0 \end{cases} [/math] [math] \frac{\partial F}{\partial y} := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial y_n} \\ \ & ... & \ \\ \frac{\partial f_n}{\partial y_1} & ... & \frac{\partial f_n}{\partial y_n} \end{pmatrix} [/math] Пусть [math] (a, b) = (a_1, ..., a_m, b_1, ..., b_n) [/math] удовлетворяет системе, [math] \det (\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)) \neq 0 [/math]. Тогда существует [math] u(a) \subset \mathbb{R}^m [/math] и существует единственное отображение [math] \Phi: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n, \ \Phi(a) = b, \ \Phi \in C^n [/math] такие, что [math] \forall x \in u(a) \ (x, \Phi(x)) [/math] удовлетворяет системе.

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в {\mathbb R}^m

Определение:

[math] M \subset \mathbb{R}^m [/math] — простое [math] k [/math]-мерное многообразие, если [math] \exists \Omega \subset \mathbb{R}^k \ \exists \Phi: \Omega \to M [/math]. [math] \Phi [/math] называется параметризацией. Если [math] \Phi: \Omega \to \mathbb{R}^m, \ \Phi \in C^r(\Omega, \mathbb{R}^m), \ \forall a \in \Omega \ \operatorname{rg} \Phi'(a) = k [/math] ([math] \operatorname{rg} [/math] — ранг), то [math] M [/math] — простое гладкое (класса [math] C^r [/math]) [math] k [/math]-мерное многообразие.

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Определение:

Пусть [math] f: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}, \ \Phi: \mathbb{R}^{m+n} \to \mathbb{R}^n, \ H_{\Phi} = \{x \in \mathbb{R}^{m+n}: \ \Phi(x) = \mathbb{O}_n\} [/math] ([math] \Phi(x) = \mathbb{O}_n [/math] — уравнение связи). Тогда [math] p \in H_{\Phi} [/math] — локальный относительный (условный) экстремум [math] f [/math] при условии [math] \Phi = \mathbb{O}_n [/math]. Это значит, что [math] p [/math] — локальный экстремум [math] f | _{H_\Phi} [/math]. Если [math] \exists U(p) \subset \mathbb{R}^{m+n} \ \forall x \in U(p) \cap H_{\Phi} \ f(x) \gt f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий), если [math] f(x) \geqslant f(p) [/math], то [math] p [/math] — локальный минимум (строгий). Аналогично задаются локальные максимумы.

Или в стиле определения обычного экстремума:

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^{n+m} \to \mathbb{R}, \ \Phi: D \to \mathbb{R}^m, \ x_0 \in D [/math]. Если [math] \Phi (x_0) = \mathbb{O}_m [/math] и существует такая окрестность [math] V_{x_0} [/math] точки [math] x_0 [/math], что для любого [math] x \in V_{x_0} \cap D [/math], удовлетворяющего условию [math] \Phi(x) = \mathbb{O}_m [/math], выполняется равенство [math] f(x) \leqslant f(x_0) [/math], то [math] x_0 [/math] называется точкой условного или относительного максимума функции [math] f [/math] при условии связи [math] \Phi (x) = \mathbb{O}_m [/math].

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Утверждение:

Пусть для точки [math] a [/math] выполняются условия теоремы о необходимом условии относительного экстремума. Пусть [math] h = (h_1, ..., h_{m+n}) [/math] — решение уравнения [math] \Phi'(a) h = 0 [/math]. Рассмотрим квадратичную форму [math] Q(h_1, ..., h_m) = d^2 G_a [/math], где [math] G [/math] — функция Лагранжа ([math] G(x) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \varphi_i(x) [/math], [math] \varphi_i [/math] — условия), где [math] \lambda_1, ... \lambda_n [/math] взяты из условия «подозрительности» точек. Тогда если [math] Q [/math]: 1) положительно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного минимума; 2) отрицательно определена, то [math] a [/math] — точка локального относительного максимума; 3) незнакоопределена, то [math] a [/math] — не точка локального относительного экстремума; 4) знакоопределена, но вырождена, то неизвестно, является ли [math] a [/math] точкой локального относительного экстремума.

Кусочно-гладкий путь

Определение:

Путь — [math] \varphi: [a; b] \to \mathbb{R}^M [/math], непрерывное [math] L = \varphi([a; b]) [/math] — носитель пути («кривая») [math] \varphi [/math] — кусочно-гладкий путь, если существует дробление [math] t_0 = a \lt t_1 \lt ... \lt t_n = b [/math] такое, что [math] \varphi|_{[t_{k - 1}, t_k]} [/math] — гладкий путь.

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Определение:

[math] V: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] E [/math] открыто — векторное поле. Рассматриваем только непрерывные векторные поля [math] V [/math] — гладкое векторное поле, если [math] V \in C^r (E, \mathbb{R}^m) [/math] Пусть [math] V [/math] — непрерывное векторное поле в [math] E [/math], [math] \gamma [/math] — кусочно-гладкий путь в [math] E [/math]: [math] \gamma: [a; b] \to E [/math]. Тогда интеграл векторного поля по пути [math] \gamma [/math] равен [math] I(V, \gamma) = \int\limits_a^b \left \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \right \rangle dt = \int\limits_a^b (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) [/math], где [math] x_i = \gamma_i(t) [/math].

Потенциальное векторное поле

Определение:

Пусть [math] O \subset \mathbb{R}^m [/math] ([math] O [/math] — область). [math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] потенциально в [math] O [/math], если существует потенциал [math] F: O \to \mathbb{R}^m [/math], где [math] F [/math] дифференцируемо в [math] O [/math], такой, что [math] \frac{\partial F}{\partial x_k} = V_k, \ k \in [1 : m] [/math].

Потенциал векторного поля

Определение:

[math] F [/math] из предыдущего определения — потенциал.

Похожие пути

Определение:

Пути [math] \gamma, \tilde{\gamma} : [a; b] \to \mathbb{R}^m [/math] — похожие, если у них существует общая «гусеница» («гусеница» — это сооружение из леммы о гусенице. Линия, а на ней пересекающиеся шарики).

Локально-потенциальное векторное поле

Определение:

[math] V: O \to \mathbb{R}^m [/math] — локально-потенциальное, если [math] \forall x \in O \ \exists U(x) \subset O [/math] такое, что [math] V [/math] — потенциальное в [math] U(x) [/math].

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Определение:

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути равен его интегралу по кусочно-гладкому пути, близкому к данному.

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Определение:

Пусть [math] \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O [/math]. [math] \Gamma: [a; b] \times [0; 1] \to O [/math] — гомотопия этих путей, если она непрерывна и [math] \forall t \ \Gamma(t, 0) = \gamma_0 (t), \ \Gamma(t, 1) = \gamma_1(t) [/math]. Связанная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_1(a), \ \gamma_0 (b) = \gamma_1(b), \ \forall s \ \Gamma (a, s) = \gamma_0 (a), \ \Gamma (b, s) = \gamma_0 (b) [/math]. Петельная гомотопия — [math] \gamma_0 (a) = \gamma_0(b), \ \gamma_1 (a) = \gamma_1(b), \ \forall s \in [0, 1] \ \Gamma (a, s) = \Gamma (b, s) [/math].

Односвязная область

Определение:

Область [math] O [/math] — односвязная, если любая петля в [math] O [/math] стягиваема: [math] \forall \gamma: [a; b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b), \ \gamma, \gamma_2 [/math] — петельно гомотопные пути, [math] \gamma_2: [a; b] \to O, \gamma_2(t) \equiv \gamma(a) [/math].

Примеры

Производная линейного отображения

[math]L'(x) = L[/math]

По определению:

[math]L(x + h) - L(x) = L(h)[/math]

Правило цепочки: запись в координатах

n-угольник максимальной площади, вписанный в окружность

Равносторонний [math]n[/math]-угольник.

школьное доказательство.

Нормальное доказательство:

Пусть углы, под которыми видны стороны многоугольника из центра окружности равны [math]a_1, a_2, ... a_n[/math]. Необходимо максимизировать [math]\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... + sin(a_n))[/math]. Выразим последний угол (из условия, что сумма углов равна [math]2\pi[/math]) и будем максимизировать следующую функцию от [math]n-1[/math] переменной: [math]\frac{1}{2} R^2 (sin(a_1) + sin(a_2) + ... - sin(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}))[/math].

Возьмем производную по каждой координате и приравняем к нулю:

[math] \begin{cases} cos(a_1) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \\ ... \\ cos(a_{n-1}) = cos(a_1 + a_2 + ... + a_{n-1}) \end{cases} [/math]

Откуда получаем [math]a_1 = a_2 = ... = a_{n-1}[/math]. Поскольку все углы лежат в пределах [math](0..\pi)[/math], то из первого уравнения [math]a_1 = 2\pi - a_1 - a_2 - ... - a_{n-1}[/math] находим [math]a_1 = 2\pi / n[/math]. То, что это решение и есть максимум очевидно.

Непотенциальное векторное поле

Любое отображение, для которого [math]\frac{\partial{F_i}}{\partial{x_j}} \neq \frac{\partial{F_j}}{\partial{x_i}}[/math] для каких-нибудь i и j. Например, [math]F(x, y, z) = (xy, xz, yz)[/math]: [math]\frac{\partial{F_1}}{\partial{y}} = x; \frac{\partial{F_2}}{\partial{x}} = z[/math]

Односвязная область

Двумерная плоскость, без всяких вырезов — в ней всякая петля стягиваема.