Отношение рёберной двусвязности

Эта статья требует доработки!

1. Доказательство транзитивности отношения реберной двусвязности некорректно (убедитесь в этом) исправил.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Реберная двусвязность

Определение:

Две вершины [math]u[/math] и [math] v[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.

Теорема:

Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно) Симметричность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно) Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть из [math] u [/math] в [math] v [/math] есть два реберно не пересекающихся пути. Их объединение будет реберно-простым циклом. Вершина [math] w [/math] реберно двусвязна с [math] v [/math]. Идем по первому пути из [math] w [/math] в [math] v [/math] до пересечения с циклом (вершина [math] a [/math]). Идем по второму пути из [math] w [/math] в [math] v [/math] до пересечения с циклом (вершина [math] b [/math]). Забудем про часть цикла [math] (a, b) [/math] содержащую вершину [math] v [/math]. (Возможно, [math] a [/math] совпадает с [math] v [/math], или [math] b [/math] совпадает с [math] v [/math], или и то и другое). Наличие двух реберно не пересекающихся путей из из [math] u [/math] в [math] w [/math] очевидно. Это пути [math] wau [/math] и [math] wbu [/math] соответственно. Важно, что если [math] a [/math], [math] b [/math] и [math] v [/math] совпадают, то пути все равно остаются реберно не пересекающимися.

[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:

Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.

См. также

Отношение вершинной двусвязности

Источники

• http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005

Литература

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6