Унитарные операторы

Унитарное преобразование

Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.

Простейшие свойства унитарного преобразования:

• унитарный оператор всегда обратим
• если оператор [math]\hat{H}[/math] -- эрмитов, то оператор [math]\hat{U} = exp(i\hat{H})[/math] -- унитарный

Применение в квантовой информатике

Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.

Воздействие на кубит

Покажем, что любое физическое воздействие на кубит в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором [math]\hat{U}[/math] как [math]|\tilde{\psi}\rangle = \hat{U}|\psi\rangle[/math].

Линейность [math]\hat{U}[/math] вытекает из линейности уравнения Шредингера. Пусть [math]|\Psi\rangle = \alpha_0^2|0\rangle + \alpha_1^2|1\rangle[/math] - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как [math]ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle[/math], где оператор [math]\hat{H}[/math] -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием [math]|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle[/math] может быть записано в виде [math]|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle[/math]. Оператор Гамильтона должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Отсюда вытекает, что оператор [math]\hat{U}[/math] -- унитарный, что и требовалось показать.

Унитарность оператора [math]\hat{U}[/math] означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.

Квантовые вычисления

В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор [math]|\psi\rangle[/math] играет роль входных данных, оператор [math]\hat{U}[/math] -- вычислительного процесса, а вектор [math]|\tilde{\psi}\rangle[/math] -- результата вычислений.

Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.

Матричная запись вычислений

Будем использовать матричное представление операторов [math]\hat{U}[/math].

Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора [math]\hat{U}|\psi\rangle = \tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle = \hat{U}(\tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle) = \tilde{\alpha}\hat{U}|0\rangle + \tilde{\beta}\hat{U}|1\rangle[/math], то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора [math]|0\rangle[/math] и [math]|1\rangle[/math], которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:

[math]\hat{U}|0\rangle = \hat{U}_{00}|0\rangle + \hat{U}_{10}|1\gt [/math]

[math]\hat{U}|1\rangle = \hat{U}_{01}|0\rangle + \hat{U}_{11}|1\gt [/math]

Тогда вычисление можно записать в виде

[math]\begin{pmatrix} \tilde{\alpha}\\ \tilde{\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{00} & U_{01}\\ U_{10} & U_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix} [/math]

или просто [math]\tilde{\psi} = U\psi[/math]. Матрица [math]U[/math] называется матричным представлением оператора [math]\hat{U}[/math]. Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.