Алгоритм Эрли, доказательство оценки O(n^2) для однозначной грамматики

Лемма:

Пусть [math]G = (N, \Sigma, P, S)[/math] — однозначная КС-грамматика и [math]a_1 \dots a_n[/math] — цепочка из [math]\Sigma^*[/math]. Тогда алгоритм Эрли пытается включить [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] в [math]I_j[/math] не более одного раза, если [math]\alpha \ne \varepsilon[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Ситуацию [math][A \rightarrow \alpha \cdot \beta, i][/math] можно включить в [math]I_j[/math] только на шагах [math](2)[/math], [math](4)[/math], или [math](5)[/math]. Если она включается на шаге [math](4)[/math], то последний символ цепочки [math]\alpha[/math] — терминал, а если на шагах [math](2)[/math] или [math](5)[/math], то — нетерминал. В первом случае результат очевиден. Во втором случае допустим, что [math][A \rightarrow \alpha'B \cdot \beta, i][/math] включается в [math]I_j[/math], когда рассматриваются две различные ситуации [math][B \rightarrow \gamma \cdot, k][/math] и [math][B \rightarrow \delta \cdot, l][/math]. Тогда ситуация [math][A \rightarrow \alpha' \cdot B\beta, i][/math] должна оказаться одновременно в [math]I_k[/math] и в [math]I_l[/math]. Пусть [math]k \ne l[/math]. Тогда по теореме существуют такие [math]\theta_1, \theta_2, \theta_3[/math] и [math]\theta_4[/math], что [math]S \Rightarrow^* \theta_1 A \theta_2 \Rightarrow \theta_1 \alpha' B \beta \theta_2 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n[/math] и [math]S \Rightarrow^* \theta_3 A \theta_4 \Rightarrow \theta_3 \alpha' B \beta \theta_4 \Rightarrow^* a_1 \dots a_n[/math]. Но в первом выводе [math]\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_k[/math], а во втором [math]\theta_1 \alpha' \Rightarrow^* a_1 \dots a_l[/math]. Тогда для цепочки [math]a_1 \dots a_n[/math] существуют два разных дерева вывода, в которых [math]a_{i+1} \dots a_j[/math] выводится из [math]\alpha' B[/math] двумя разными способами. Пусть [math]k = l[/math]. Тогда [math]\gamma \ne \delta[/math]. Тогда, так как [math][B \rightarrow \gamma \cdot, k] \in I_j[/math] и [math][B \rightarrow \delta \cdot, k] \in I_j[/math], то [math]\gamma \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j[/math] и [math]\delta \Rightarrow a_{k+1} \dots a_j[/math], то есть [math]a_{k+1} \dots a_j[/math] выводится двумя разными способами.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если входная грамматика однозначна, то время выполнения алгоритма Эрли для слова длины [math]n[/math] составляет [math]O(n^2)[/math].