Правильные скобочные последовательности
<wikitex>
Определения
| Определение: |
| Скобочная последовательность — класс комбинаторных объектов, представляющий собой последовательность скобочных символов. |
Примеры скобочных последовательностей:
- $(())))($
- $)()()))()(()())$
| Определение: |
Правильная скобочная последовательность — частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:
|
Примеры правильных скобочный последовательностей:
- $((()()()()))$
- $(())(()())$
Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности
Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку $s$. Возьмем переменную $a$, $a = 0$. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $a$ на $1$, закрывающую - уменьшаем на $1$. Если на протяжении всего перебора $a$ было неотрицательным и после завершения осталось нулем, то скобочная последовательность правильна.
псевдокод:
function check(s: string): boolean;
var
i, a :integer;
begin
a := 0
for i := 1 to length(s) do {перебираем последовательно все символы строки (подразумевается, что в ней нет символов отличных от "(" и ")")}
begin
if s[i] = '(' then {проверяем символ и производим соответствующие действия над переменной a}
inc(a)
else
dec(a);
if a < 0 then
check := false;
end;
if a = 0 then {проверяем на равенство нулю}
check := true
else
check := false;
end;
Надо отметить что, скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок, при этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:
Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок:
- $()[()]\{()()[]\}$ - верно
- $[(]\{\})$ - неверно
В этом случае для проверки надо будет использовать стек.
Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей
Для того чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей будем интерпретировать открывающуюся скобку как "$0$", а закрывающуюся как "$1$" (**). Тогда первая последовательность с $n$ открывающимися скобками будет иметь вид:
| ( | ( | ( | ( | ... | ( | ( | ( | ) | ) | ) | ... | ) | ) | ) | ) | (***) |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ... | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ... | 1 | 1 | 1 | 1 |
что соответствует самому маленькому возможному числу, а последняя:
| ( | ) | ( | ) | ... | ( | ) | ( | ) | ( | ) | ... | ( | ) | ( | ) |
| 0 | 1 | 0 | 1 | ... | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ... | 0 | 1 | 0 | 1 |
что соответствует самому большому возможному числу. Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок, например "$($"<"$[$"<"$)$"<"$]$".
Примеры лексикографического порядка для $n$ и $k$, где $n$ - число открывающихся скобок, а $k$ - число видов скобок
| $n = 3$ | $k = 1$ | |||
| $((()))$ | $(()())$ | $(())()$ | $()(())$ | $()()()$ |
| $n = 2$ | $k = 2$ | ||
| $()[]$ | $([])$ | $[()]$ | $[]()$ |
Алгоритм генерации лексикографического порядка будет предложен ниже.
Количество правильных скобочных последовательностей. Числа Каталана
Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.
| Определение: |
Числа Каталана — последовательность чисел, выражающих:
|
Числа Каталана удовлетворяют следующему рекурентному соотношению:
$C_0 = 1$; — так как существует только одна скобочная последовательность с 0 открывающихся скобок - пустая
$C_n = \sum_{i = 1}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$.
Это соотношение легко получается из (*). Для этого надо перебрать все возможные последовательности $d_1$ и $d_2$, являющиеся правильными скобочными последовательностями, такие, что $(d_1)d_2$ образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длины.
Алгоритмы генерации
Генерация следующей скобочной последовательности:
Пусть нам известна строка $s$, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то - "No solution". Воспользуемся интерпретацией (**). Чтобы получить следующий битовый вектор надо найти самый последний нулевой элемент, заменить его на единицу, а элементы следующие за ним сделать минимально возможными (все нули). Тоже самое и со скобочными последовательностями, только после замены нуля на единицу оставшиеся скобки надо расположить в минимальном порядке (в виде (***)):
function next(var s: string): boolean;
var
i, k, l:integer;
begin
k := 0; {счетчик для закрывающихся скобок}
l := 0; {счетчик для закрывающихся скобок}
for i := length(s) downto 1 do {Начинаем перебирать скобки с конца}
begin
if s[i] = '(' then
begin
inc(l);
if k > l then {встретив открывающуюся скобку, которую можно поменять на закрывающуюся, меняяем ее и выходим из цикла}
break;
end
else
inc(k);
end;
delete(s, length(s) - l - k + 1, k + l); {удаляем все скобки включая открывающуюся}
if s = then
next := false
else
begin
s := s +')'; {записываем закрывающуюся скобку}
for j := 1 to l do {расставляем скобки в минимально возможном порядке}
s := s + '(';
for j := 1 to k - 1 do
s := s + ')';
next := true;
end;
end;
Если эта функция после выполнения выводит $true$ тогда надо напечатать полученную строку $s$, если $false$, то следует вывести "No solution".
Получение лексикографического порядка:
Пусть нам известно число $n$. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с $n$ открывающимися скобками:
procedure (n: integer);
var
s: string;
j: integer;
t: boolean;
begin
s := ;
if n = 0 then
writeln()
else
begin
for j := 1 to n do {создаем начальную строку}
s := s + '(';
for j := 1 to n do
s := s + ')';
writeln(s);
t := next(s);
while t <> false do {выполняем до тех пор пока не будет получена последняя последовательность}
begin
writeln(s);
t := next(s);
end;
end;
end;
Так же с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших $n$.
