Теоретический минимум по математическому анализу за 3 семестр

1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры)

Определение:

Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal R [/math] — совокупность его подмножеств (не обязательно всех). Пара [math] (X, \mathcal R) [/math] называется полукольцом, если: [math] \varnothing \in \mathcal R [/math] [math] A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R [/math] (замкнутость относительно пересечения) [math] A, B \in \mathcal R, A \subset B \Rightarrow \exists D_1, \ldots, D_n, \ldots \in R: B \setminus A = \bigcup\limits_n D_n, D_n \in \mathcal R, D_i \cap D_j = \varnothing [/math] для [math] i \ne j [/math] (далее просто будем говорить, что эти множества дизъюнктны).

Определение:

Пусть [math] X [/math] — некоторое множество, [math] \mathcal A [/math] — совокупность его подмножеств. [math] \mathcal A [/math] — алгебра, если: [math] \varnothing \in \mathcal A [/math] [math] B \in \mathcal A \Rightarrow \overline B = X \setminus B \in \mathcal A [/math] [math] B, C \in \mathcal A \Rightarrow B \cap C \in \mathcal A [/math] [math] \mathcal A [/math] называется σ-алгеброй (сигма-алгеброй, счетной алгеброй), если третья аксиома усилена требованием принадлежности [math] \mathcal A [/math] пересечения счетного числа множеств

Примеры:

TODO: дописать: чего-нить по теме

2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства

Определение:

Пусть [math] (X, \mathcal R) [/math] — полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}[/math] называется мерой на нем, если: [math] m(\varnothing) = 0 [/math] Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] (сигма-аддитивность)

Два важных свойства на полукольце:

Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда:

1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math] выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math]

2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math] выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)

Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотоностью меры.

3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце

Определение:

Внешняя мера на множестве [math] X [/math] - неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств [math] X [/math], и удовлетворяющая следующим аксиомам: 1) [math] \mu^* (\varnothing) = 0 [/math] 2) Для [math] A \subset \bigcup\limits_n A_n [/math] выполняется [math] \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность)

Пусть заданы полукольцо [math] (X; \mathcal R) [/math] и мера [math] m [/math] на нем. Тогда для любого множества [math] A \subset X [/math]:

1) Полагаем [math] \mu^*(A) = + \infty [/math], если [math] A [/math] нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем [math] \mu^*(A) = \inf\limits_{A \subset \bigcup\limits_{n} E_n} \sum\limits_{n} m(E_n) [/math], в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий [math] A [/math] из полукольца [math] \mathcal R [/math].

Теорема:

Определенная нами [math] \mu^* [/math] является корректной внешней мерой на [math] X [/math], при этом, для [math] A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) [/math].

4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы

Определение:

Пусть есть множество [math] X [/math] и внешняя мера [math] \mu^* [/math] на нем, и множества [math] A, B [/math] являются подмножествами [math] X [/math]. Множество [math] A [/math] хорошо разбивает множество [math] B [/math], если [math] \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) [/math].

Определение:

Множество [math]A \in X[/math] называется μ*-измеримым, если оно хорошо разбивает всякое множество [math]E \in X[/math].

5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы

TODO: дописать: чего-нить по теме

6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори

[math](m, \mathcal{R}) \to \mu^* \to (\mu, \mathcal{A}) \to \nu^*[/math].

Построим [math]\nu^*[/math] — внешнюю мера для [math](\mu, \mathcal{A})[/math]. Возникает вопрос: "Построили ли мы что-то новое?"

Теорема:

[math]\mu^*=\nu^*[/math] (повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере).

7. Критерий мю*-измеримости

TODO: дописать: чего-нить по теме

8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства

Определение:

[math]\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \{\bar x = (x_1; x_2 \ldots x_n), x_j \in \langle a_j; b_j \rangle\}[/math]

Определение:

[math]v(\Pi) = \prod\limits_{j=1}^n (b_j - a_j)[/math] — объём прямоугольника

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_{j=1}^p \Pi_j = \Pi[/math](прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math].

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_{j=1}^p\Pi_j \subset \Pi[/math]. Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]

Утверждение:

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_{j = 1}^p \Pi_j[/math]. Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_{j=1}^pv(\Pi_j)[/math]

9. Объем, как мера на полукольце ячеек

TODO: дописать: чего-нить по теме

10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)

TODO: дописать: чего-нить по теме

11. Теорема о внешней мере в R^n

TODO: дописать: чего-нить по теме

12. Структура измеримого по Лебегу множества

Теорема:

Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде [math] E = A \cup B [/math], причем A - множество типа [math] F_{\sigma} [/math], а [math] \lambda B = 0[/math].

13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math], считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math]-конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math], будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math], для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:

[math] a \in \mathbb R [/math], [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math].

Определение:

[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Утверждение (Измеримость по Лебегу):

Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \Leftrightarrow [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

14. Арифметика измеримых функций

Теорема:

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math]. Тогда 1) [math]|f|[/math] — измерима 1.5) [math]kf[/math] — измеримо ([math]k \in \mathbb{R}[/math]) 2) [math]f^2[/math] — измеримо 3) [math]f + g[/math] — измеримо 4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

15. Измеримость поточечного предела измеримых функций

Утверждение:

Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], [math]f_n[/math] — измеримо на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math] Тогда [math]f[/math] тоже измеримо на [math]E[/math].

16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду

Определение:

Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

Определение:

Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

Утверждение:

Пусть [math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f[/math] — измерима.

17. Предел по мере и его единственность

Пусть функции [math]f_n, f[/math] — измеримы на [math]E[/math], множества [math]E(|f_n - f| \geq \delta)[/math], где [math]\delta \gt 0[/math], измеримы.

Определение:

[math]f_n[/math] стремятся по мере на [math]E[/math] к [math]f[/math] ([math]f_n\stackrel{[E]}{\Rightarrow} f[/math]), если [math]\forall\delta\gt 0 : \mu E(|f_n - f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]{} 0[/math]

В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то TODO: добавить.

18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере

Теорема (Лебег):

[math]\mu E\lt +\infty[/math], [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f_n\stackrel{E}{\Rightarrow} f[/math].

19. Теорема Рисса

Теорема (Фердинанд Рисс):

Пусть последовательность функций сходится по мере к функции [math]f[/math] на [math]E[/math]. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на [math]E[/math].

20. Теорема Егорова

Теорема (Егоров):

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. Тогда [math]\exists E'' \subset E[/math], [math]\mu E'' \gt \mu E - \delta[/math], [math]f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f[/math]

21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше

Теорема (Лузин):

[math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] по мере Лебега. Тогда [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \varphi[/math] — непрерывная на [math]\mathbb{R}^n[/math], [math]\lambda_nE(f\ne\varphi)\lt \varepsilon[/math]

Это принято называть [math]C[/math]-свойством Лузина.

Если, помимо всего прочего, [math]f(x)[/math] ограничена [math]M[/math] на [math]E[/math], то [math]\varphi[/math] можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на [math]\mathbb{R}^n[/math].

Теорема (Фреше):

[math]E\subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math]. Тогда [math]\exists\varphi_n[/math] — последовательность непрерывных на [math]\mathbb{R}^n[/math] функций, такая, что [math]\varphi_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега

Определение:

Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n m_p \mu e_p[/math], [math]\overline{s}(\tau) = \sum\limits_{p=1}^n M_p \mu e_p[/math]. Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.

Определение:

[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если любой отрезок [math] e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то отрезке [math]e' \in \tau_2[/math], то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math], [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math].

Лемма:

1. [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math] 2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline{s}(\tau_2) \leq \underline{s}(\tau_1)[/math], [math]\overline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math] 3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

Тогда, если определить [math]\underline{L} = \sup\limits_{\tau} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{L} = \inf\limits_{\tau} \overline{s}(\tau)[/math], то из леммы следует: [math]\underline{s}(\tau) \leq \underline{L} \leq \overline{L} \leq \overline{s}(\tau)[/math].

Определение:

Если [math]\underline{L} = \overline{L}[/math], то [math]f[/math] — интегрируема по Лебегу на [math]E[/math], общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline{L}=\overline{L} = \int\limits_E f d\mu[/math].

Теорема:

[math]f\in\mathcal{R}(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal{L}[/math]. Иначе говоря, существует интеграл Лебега [math]\int\limits_{[a;b]} fd\lambda = \int\limits_a^b fdx[/math].

23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции

Пусть [math]E[/math] - произвольное измеримое множество, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math] - измеримая функция.

Рассмотрим набор множеств [math] e [/math], такой, что [math]e \in E[/math] - измеримо, [math]\mu e \lt +\infty[/math], [math]f[/math] - ограничена на [math]e[/math]. В такой ситуации существует [math]\int \limits_{e} f d\mu[/math] — интеграл Лебега.

Определение:

[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если [math]\sup \limits_{\{e \}} \int \limits_{e} f d\mu = \int \limits_{E} f d\mu[/math] — интеграл по [math]E[/math].

24. Счетная аддитивность интеграла

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math].

25. Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема (Абсолютная непрерывность):

Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math]. Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]

26. Арифметические свойства интеграла Лебега

Теорема ([math]\sigma[/math]-аддитивность интеграла):

Пусть существует [math] \int\limits_E fd\mu[/math], [math]E = \bigcup\limits_n E_n[/math] — измеримы и дизъюнктны. Тогда [math] \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_{E_n} fd\mu [/math].

Утверждение (линейность интеграла):

Пусть [math]\exists\int f, \int g[/math], [math]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/math]. Тогда [math]\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu[/math].

27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Теорема (Лебег):

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n[/math], [math]f[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]|f_n(x)| \le M\ \forall n[/math] на [math]E[/math]. Если [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math], тогда [math]\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f[/math].

28. Определение интеграла от суммируемой функции

Определение:

[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math], если на нём суммируемы [math] f_+ [/math] и [math] f_- [/math]. В этом случае, [math] \int\limits_E f \underset{\mathrm{def}}= \int\limits_E f_+ - \int\limits_E f_- [/math].

29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций

Теорема:

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_{n} E_n[/math]. [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb{R_{+}}[/math]. Тогда [math]\int \limits_{E} f = \sum \limits_{n} \int \limits_{E_n} f[/math].

30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций

TODO: дописать: чего-нить по теме

31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также [math] \sigma [/math]-аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теорема Лебега

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):

Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность измеримых функций [math] f_n [/math], таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — измеримая. Пусть [math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].

33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Теорема (Леви):

Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_{n+1}(x) [/math]. [math] f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math]. Тогда [math] \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].

Лемма (следствие о ряде из интегралов):

Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] на и измеримы на [math] E [/math], и [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math].

34. Теорема Фату

Теорема Фату

Теорема (Фату):

Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math]. Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n [/math].

35. Неравенства Гельдера и Минковского

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера для интегралов. [math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math] — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).

36. Пространства, полнота

[math] L_p(E) = \{f [/math] - измерима на [math] E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu \lt + \infty \} [/math], то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math]-ой степенью на [math] E [/math]. Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f|^p [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math].

Теорема:

[math] L_p(E) [/math] — линейное пространство.

Теорема:

[math] L_p(E) [/math] с нормой, определенной как [math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} [/math] — нормированное пространство.

Теорема (о полноте):

[math] L_p(E) [/math] — полное.

37. Всюду плотность множества С в пространствах

TODO: дописать: чего-нить по теме

38. Мера цилиндра

Определение:

Пусть [math] E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f [/math] — измерима. [math] G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} [/math] — подграфик функции.

Если [math] f(x_1 \ldots x_n) = c \ge 0 [/math] на [math] E [/math], то подграфик называется цилиндром в [math] \mathbb R^{n + 1} [/math].

Утверждение:

[math] G [/math] - цилиндр высоты [math]c \ge 0 [/math], измеримое [math] E \subset \mathbb R^n [/math] — основание. Тогда он измерим и при [math] c \gt 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E [/math], при [math] c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 [/math].

39. Мера подграфика

TODO: дописать: чего-нить по теме

40. Вычисление меры множества посредством его сечений

TODO: дописать: чего-нить по теме

41. Теорема Фубини

TODO: дописать: чего-нить по теме