Задача о двух конвертах

Задача (Парадокс) двух конвертов — известный математический парадокс теории вероятностей.

Первая формулировка

Определение:

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая сумма денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Тогда в чужом конверте равновероятно может находиться [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет [math] \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X [/math], т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может равновероятно находится [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. В действительности этого не может быть.

Предположим от противного, что существует вероятностное распределение [math]p(x)[/math], определенное на всех положительных числах так, что [math]p(x_1)[/math] - вероятность того, что в конвертах записаны [math]x_1[/math] и [math]2 \cdot x_1[/math], причем [math]\forall x\gt 0 \ p(x) = p(2x)[/math] (условие равновероятности). Тогда значения этой функции должны быть равны на всех степенях двойки, т.е. [math]p(x)[/math] постоянна на них. Но [math]\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} p(2^i) \leqslant 1[/math] (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство (именно ее мы разбирали на практике).

Вторая формулировка

Ограничим суммы в конвертах - пусть они могут быть только степенями двойки. Также введем заданное вероятностное распределение геометрической прогрессией:

• вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — [math](1-q)[/math]

• вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — [math](1-q)q[/math]

• вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — [math](1-q)q^2[/math]

• вероятность выпадения [math]2^i[/math] и [math]2^{i+1}[/math] в конвертах — [math](1-q)q^i[/math]

• и так далее.

тогда сумма всех вероятностей действительно [math](1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1[/math]

Итак, пусть нам дали конверт с суммой [math]2^i[/math]. тогда вероятность того, что в другом конверте [math]2^{i-1} \ [/math] — [math] \ \frac{1}{(1+q)} [/math], а того, что в другом конверте [math]2^{i+1} \ [/math] — [math] \ \frac{q}{(1+q)} [/math]

Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать [math]\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) [/math].

При [math]q \gt \frac{1}{2}[/math] последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем [math]2^i[/math]. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?

А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. В данной задаче, не меняя конверты, "в среднем" мы заработаем [math]\infty[/math] денег. А если будем менять конверты, то добавится множитель [math] \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )[/math]. Верно, что [math] \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )[/math], и никакой ошибки тут нет.

Ссылки

Википедия - Парадокс двух конвертов

Очень подробная статья про парадокс