Теорема о компактности сопряжённого оператора

Пусть [math]A[/math] является компактным оператором. Тогда сопряженный к нему оператор [math]A^*[/math] также является компактным.

Доказательство теоремы

Итак, рассмотрим оператор [math]A^*: F^* \to E^*[/math]. По определению сопряженного оператора, если [math]\phi \in F^*[/math], то [math]A^*\phi = \phi A[/math].

Для доказательства необходимо показать, что множество [math]\{A^*\phi \mid \|\phi\| \le 1\}[/math] будет относительно компактно в [math]E^*[/math]. Для этого надо показать, что если взята последовательность [math]\{\phi_n\}[/math] такая, что [math]\|\phi_n\| \le 1\[/math], то можно выбрать [math]\{\phi_{n_k}\}[/math] такую, что [math]A^*\phi_{n_k}[/math] сходится в [math]E^*[/math].