Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))
Версия от 01:02, 14 февраля 2012; 178.178.2.220 (обсуждение)
Постановка задачи
Пусть дан автомат, распознающий определенный язык. Требуется найти эквивалентный автомат с наименьшим количеством состояний.
Алгоритм Хопкрофта
Если в ДКА существуют два эквивалентных состояния, то при их объединении мы получим эквивалентный ДКА, так как распознаваемый язык не изменится. Основная идея алгоритма состоит в разбиении множества состояний на классы эквивалентности, полученные классы и будут состояниями минимизированного ДКА.
Итеративно строим разбиение множества состояний следующим образом.
- Первоначальное разбиение множества состояний — класс допускающих состояний и класс недопускающих состояний.
- Меньший из них помещается в очередь.
- Из очереди извлекается класс, далее именуемый как сплиттер.
- Перебираются все символы из алфавита , где — текущий символ.
- Все классы текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу переходят в сплиттер, а второй из всех оставшихся.
- Те классы, которые разбились на два непустых подкласса, заменяются этими подклассами в разбиении, а также меньший из двух подклассов добавляется в очередь.
- Пока очередь не пуста, алгоритм выполняет п.3 – п.6.
Псевдокод
— множество состояний ДКА. — множество терминальных состояний. — очередь. — разбиение множества состояний ДКА. — класс состояний ДКА.
if.push( ) else .push( ) while not .isEmpty() .pop( ) for all for all in if and replace in with and if in replace in with and else if .push( ) else .push( )
Корректность алгоритма
Время работы алгоритма
Благодаря системе добавления классов состояний в очередь, каждое ребро будет рассмотрено не более чем
раз. А так как ребер у нас порядка то получаемЛитература
- Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 177 — ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)
- J. E. Hopcroft. An n log n algorithm for minimizing states in a finite automaton. Technical Report CS-71-190, Stanford University, January 1971.