Основы численных методов
Привет. Здесь я постараюсь написать конспект курса по основам численных методов, которые нам преподавал Александр Соломонович Сегаль.
Делаю я это на добровольной основе и в своем стиле, если вы собираетесь сделать это серьезней, то согласуйте это со мной и флаг вам в руки.
Пятый семестр
1. Понятие погрешности. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешности арифметических операций и вычисления функций.
Введем, для начала, понятия абсолютной и относительной погрешностей.
2. Связь погрешности и количества верных значащих цифр в позиционной записи вещественных чисел. Компьютерное представление чисел, погрешности компьютерного округления.
3. Понятия корректности, устойчивости и обусловленности вычислительных задач и алгоритмов. Примеры хорошо и плохо обусловленных задач.
4. Численное решение нелинейных алгебраических уравнений. Обусловленность задачи нахождения корня нелинейного алгебраического уравнения.
5. Метод простых итераций решения нелинейных алгебраических уравнений.
6. Метод Ньютона решения нелинейных алгебраических уравнений и его модификации.
7. Понятие нормы векторов и матриц. Обусловленность задачи нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений.
8. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса и его модификации.
9. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
10. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций.
11. Методы Зейделя и последовательной релаксации решения систем линейных алгебраических уравнений.
12. Понятие о методах спуска решения систем линейных алгебраических уравнений. Методы покоординатного и наискорейшего спуска, методы сопряженных направлений.
Шестой семестр
1. Интерполяция функций одной переменной. Интерполяционный полином в формах Лагранжа и Ньютона.
2. Понятие о стратегии интерполяции. Теоремы Фабера и Чебышева о стратегии интерполяции. Универсальная стратегия интерполяции Чебышева.
3. Интерполяция сплайнами. Степень гладкости и дефект сплайна. Типовые сплайны третьего порядка.
4. Аппроксимация функций одной переменной. Метод наименьших квадратов.
5. Приближенное вычисление интегралов. Формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценки погрешности.
6. Способы вычисления кратных интегралов. Метод Монте-Карло для вычисления интегралов.
7. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка, разрешенного относительно производной. Явный и неявный методы Эйлера.
8. Одношаговые методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной. Методы Рунге-Кутты.
9. Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной. Методы Адамса-Бэшфорта и Адамса-Моултона, метод предиктор-корректор.
10. Численное решение задачи Коши для систем ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производных, и для ОДУ высокого порядка, разрешенного относительно старшей производной.
11. Понятие жестких дифференциальных уравнениях и систем. Связь с понятием сингулярного возмущения и особенности численного решения.
12. Численное решение краевых задач для ОДУ. Сведение краевой задачи к задаче Коши. Метод прогонки.
