Эта статья находится в разработке!
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math].
| Определение: |
| Для [math]\forall x \in X[/math] величина [math]E_y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{||x-y||}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math].
Если при этом существует [math]y* \in Y[/math] такой, что [math]E_y(x)=||x-y*||[/math], то этот [math]y*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]ч[/math]. |
Заметим, что нет гарантий, что [math]y*[/math] единственный и что он вообще существует. [math]E_y(x) \ge 0[/math], если [math]x \in Y[/math], то [math]E_y(x)=0[/math], таким образом положительной определенности у этого функционала нет.
| Утверждение: |
Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Однородность: [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math], по определению нижней грани [math]||x-y_{\varepsilon}||\lt E_y(x)+\varepsilon[/math], где [math]y_{\varepsilon}[/math].
[math]|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||\lt |\lambda|E_y(x)+|\lambda|[/math], по аксиомам нормы: [math]|\lambda|||x-y_{\varepsilon}||=||\lambda x-\lambda y||[/math]. Так как [math]Y[/math] — линейное пространство, то [math]\lambda y_{\varepsilon} \in Y[/math] и [math]\lambda Y_{\varepsilon}\ge E_y(\lambda x)[/math], тогда [math]E_y(x) \lt |\lambda|E_y(x) - |\lambda|\varepsilon[/math], устремляя [math]\varepsilon \to 0[/math], получаем [math]E_y(\lambda x) \le |\lambda|E_y(x)[/math].
[math]E_y(x)=E_y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_y(\frac{x}{\lambda})[/math], то есть [math]\frac{1}{|\lambda|}E_y(x) \le E_y(\frac{x}{\lambda})[/math]. Пусть [math]\mu = \frac{1}{\lambda}[/math], тогда [math]|\mu|E_y(x) \le E_y(\mu x)[/math].
Таким образом получаем два противоположных неравенства, а следовательно [math]E_y(\lambda x)=|\lambda|E_y(x)[/math]
Неравенство треугольника: [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math]: [math]||x_1-y_{\varepsilon}||\lt E_y(x_1)+\varepsilon[/math] и [math]||x_2-z_{\varepsilon}||\lt E_y(x_2)+\varepsilon[/math], складывая эти два неравенства, получим [math]||x_1+y_{\varepsilon}||+||x_2+z_{\varepsilon}||\lt E_y(x_1)+E_y(x_2)+2\varepsilon[/math]. По свойствам нижней грани [math]E_y(x_1+x_2)\le ||(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})||[/math], так как [math]y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y[/math]. Устремляя в предыдущем неравенстве [math]\varepsilon \to 0[/math], приходим к неравенству треугольника: [math]E_y(x_1+x_2)\le E_y(x_1)+E_y(y_1)[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Отметим некоторый технический момент, [math]\forall x \in X[/math], [math]\forall y \in Y[/math] выполняется: [math]E_y(x)=E_y((x+y)-y)\le E_y(x+y)+E(-y)[/math], [math]E_y(-y) = 0[/math], так как [math]y \in Y[/math], следовательно [math]E_y(x) \le E_y(x+y) /le E_y(x) + E_y(y) = E_y(x)[/math]. Замкнулись, то есть [math]\forall y \in Y E_y(x)=E_y(x+y)[/math]. Так же, так как [math]0 \in Y[/math], то [math]E_y(x) \le ||x-0||=||x||[/math], следовательно, [math]E_y(x) \le ||x||[/math]. Отсюда, если [math]x_n \to [/math], то [math]E_y(x_n) \to E_y(x)[/math], то есть как функционал [math]E[/math] непрерывно.
Основной интерес представляют конечномерные подпространства. Пусть [math]dim Y \lt +\infty[/math], [math]Y=\Lambda(e_1,..,e_p)[/math], тогда [math]dim Y = p[/math]. К примеру, [math]dim H_n = 2n+1
[/math], [math]H_n = \Lambda(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})[/math]
