Поиск k-ой порядковой статистики за линейное время

Определение:

[math]k[/math]-ой порядковой статистикой набора элементов линейно упорядоченного множества называется такой его элемент, который является [math]k[/math]-ым элементом набора в порядке сортировки

Историческая справка

Алгоритм Блюма-Флойда-Пратта-Ривеста-Тарьяна (BFPRT-алгоритм) создан Мануэлем Блюмом (Manuel Blum), Робертом Флойдом (Robert Floyd), Воганом Рональдом Праттом (Vaughan Ronald Pratt), Роном Ривестом (Ron Rivest) и Робертом Тарьяном (Robert Tarjan) в 1973 году.

Идея алгоритма

Этот алгоритм почти ни чем не отличается от алгоритма поиска k-ой порядковой статистики, но имеет важное отличие в том, что время работы алгоритма в наихудшем случае равно [math]O(n)[/math], что будет доказано ниже. Главная идея алгоритма заключается в том, чтобы гарантировать хорошее разбиение массива. Алгоритм выбирает такой рассекающий элемент, что количество чисел, которые меньше рассекающего элемента, не менее [math]\frac{3n}{10}[/math], где [math]n[/math] количество элементов в массиве, благодаря этому алгоритм работает за линейной время в любом случае.

Описание алгоритма

1. Все [math]n[/math] элементов входного массива разбиваются на группы по пять элементов, в последней группе будет [math]n[/math] [math] mod[/math] [math] 5[/math] элементов.
2. Сначала сортируется каждая группа, затем выбираем медиану в каждой из этих групп.
3. Путем рекурсивного вызова шага 1 определяется медиана [math]x[/math] из множества медиан, найденных на втором шаге. [math]x[/math] — рассекающий элемент, [math]i[/math] — индекс рассекающего элемента.Если медиан окажется четное количество, то на место рассекающего элемента будут претендовать две медианы, переменной [math]x[/math] будет присвоено значение большей из этих двух медиан.
4. Делим массив относительно рассекающего элемента [math]x[/math]. Все элементы меньшие [math]x[/math] будут находиться левее [math]x[/math] в массиве и будут иметь меньший индекс и наоборот, если элементы больше [math]x[/math].
5. Если [math]i[/math] [math]=[/math] [math]k[/math], то возвращается значение [math]x[/math]. Иначе вызывается рекурсивно шаг 1, и выполняется поиск [math]k[/math]-го в порядке возрастания элемента в левой части массива,если [math]i[/math] [math]\lt [/math] [math]k[/math], или в правой части, если [math]i[/math] [math]\gt [/math] [math]k[/math].

Псевдокод

   select(L,k)
   {
   if (length(L) <= 10)
   {
       sort L
       return the element in the kth position            // вернем элемент, находящийся на k-ой позиции;
   }
   partition L into subsets S[i] of five elements each   // разобьем L на подмножества S[i] размером 5 по 5 элементов;
       (there will be n/5 subsets total).
   for (i = 1 to n/5) do
       x[i] = select(S[i],3)                             //найдем медианы S[i];
   M = select({x[i]}, n/10)                              // M — рассекающий элемент;
   partition L into L1<M, L2=M, L3>M                     // разобьем L на подмножества L1, где все элементы меньше M;
   if (k <= length(L1))                                  // L3, где все элементы больше M и L2 равное M; 
       return select(L1,k)
   else if (k > length(L1)+length(L2))
       return select(L3,k-length(L1)-length(L2))
   else return M                                         // элемент на k-ой позиции в исходном массиве;
   }

Пример

На вход подается массив, разобьем элементы на группы по 5 элементов. Отсортируем элементы каждой группы и выберем медианы. Вызовемся рекурсивно от медиан.

Разобьем на группы по 5 медианы. Отсортируем элементы каждой группы и выберем медианы

Выберем медианы медиан. В итоге мы получили один элемент равный [math]40[/math]. Это и есть рассекающий элемент.

Анализ времени работы алгоритма

Пусть [math]T(n)[/math] — время работы алгоритма для [math]n[/math] элементов, тогда оно не больше, чем сумма:

1. времени работы на сортировку групп и разбиение по рассекающему элементу, то есть [math]Cn[/math];
2. времени работы для поиска медианы медиан, то есть [math]T(\frac{n}{5})[/math];
3. времени работы для поиска [math]k[/math]-го элемента в одной из двух частей массива, то есть [math]T(s)[/math], где [math]s[/math] — количество элементов в этой части. Но [math]s[/math] не превосходит [math]\frac{7n}{10}[/math], так как чисел, меньших рассекающего элемента, не менее [math]\frac{3n}{10}[/math] — это [math]\frac{n}{10}[/math] медиан, меньших медианы медиан, плюс не менее [math]\frac{2n}{10}[/math] элементов, меньших этих медиан. С другой стороны, чисел, больших рассекающего элемента, так же не менее [math]\frac{3n}{10}[/math], следовательно [math] s \le \frac{7n}{10}[/math], то есть в худшем случае [math] s = \frac{7n}{10}[/math].

Тогда получаем, что [math]T(n) \le T(\frac{n}{5}) + T(\frac{7n}{10}) + Cn [/math]

Покажем, что для всех [math] n [/math] выполняется неравенство [math]T(n) \le 10Cn [/math].

Докажем по индукции:

1. Очевидно, что для малых [math] n [/math] выполняется неравенство [math]T(n) \le 10Cn [/math]
2. Тогда, по предположению индукции, [math]T(\frac{n}{5}) \le 10C(\frac{n}{5}) = 2Cn[/math] и [math] T(\frac{7n}{10}) \le 10C(\frac{7n}{10}) = 7Cn[/math], тогда

[math]T(n) \le T(\frac{n}{5}) + T(\frac{7n}{10}) + Cn = 2Cn + 7Cn + Cn = 10Cn \Rightarrow T(n) \le 10Cn[/math]

Так как [math]T(n) \le 10Cn [/math], то время работы алгоритма [math]O(n)[/math]

Литература

• Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ

Ссылки

• Selection algorithm — Wikipedia