Вероятностные вычисления. Вероятностная машина Тьюринга

Материал из Викиконспекты
Версия от 20:11, 30 мая 2012; Igor buzhinsky (обсуждение | вклад) (→‎Соотношение вероятностных классов)
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!

Вероятностные вычисления — один из подходов в теории вычислительной сложности, в котором программы получают доступ к случайным битам. Мы рассмотрим классы сложности, для которых разрешающие программы могут делать односторонние, двусторонние ошибки или работать за полиномиальное время лишь в среднем случае.

Основные определения

Определение:
Вероятностная лента — бесконечная последовательность битов. Распределение битов на ленте подчиняется некоторому вероятностному закону (обычно считают, что вероятность нахождения [math]0[/math] или [math]1[/math] в каждой позиции равна [math]1/2[/math]).


Определение:
Вероятностной машиной Тьюринга будем называть машину Тьюринга, имеющее доступ к вероятностной ленте.


При интерпретации вероятностной машины Тьюринга как программы, обращение к очередному биту можно трактовать как вызов специальной функции random(). При этом также будем предполагать, что вероятностная лента является неявным аргументом для программы, т.е. [math]p(x) = p(x, r)[/math], где [math]r[/math] — вероятностная лента.
В дальнейшем все вероятностные соображения будут относиться к пространству вероятностных лент [math]r[/math], вход же программы [math]x[/math] будем считать фиксированным.

Здесь будет теорема о том, что утверждения, связанные с ВМТ, являются событиями.


Вероятностные сложностные классы

Определение:
[math]\mathrm{ZPP}[/math] (от zero-error probabilistic polynomial) — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:

1) [math]\operatorname{P}(p(x) \ne [x \in L]) = 0[/math];

2) [math]\operatorname{E}(\operatorname{T}(p(x))) = poly(|x|)[/math].


Определение:
[math]\mathrm{RP}[/math] (от randomized polynomial) — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:

1) [math]x \notin L \Rightarrow p(x) = 0[/math];
2) [math]x \in L \Rightarrow \operatorname{P}(p(x) = 1) \ge 1/2[/math];

3) [math]\forall r \operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|).[/math]

Заметим, что константа [math]1/2[/math] в пункте 2 определения [math]\mathrm{RP}[/math] может быть заменена на любую другую из промежутка [math](0, 1)[/math], поскольку требуемой вероятности можно добиться множественным запуском программы. Определим также [math]\mathrm{coRP}[/math] как дополнение к [math]\mathrm{RP}[/math].

[math]\mathrm{RP}[/math] можно рассматривать как вероятностный аналог класса [math]\mathrm{NP}[/math], предполагая, что вероятность угадать сертификат в случае его существования не менее [math]1/2[/math].


Определение:
[math]\mathrm{BPP}[/math] (от bounded probabilistic polynomial) — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:

1) [math]\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) \ge 2/3[/math];

2) [math]\operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)[/math].

Аналогично сделанному выше замечанию, константу [math]2/3[/math] можно заменить на любое число из промежутка [math](1/2, 1)[/math]. Замена константы на [math]1/2[/math] сделало бы данный класс равным [math]\Sigma^*[/math].


Определение:
[math]\mathrm{PP}[/math] (от bounded probabilistic polynomial) — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:

1) [math]\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) \gt 1/2[/math];

2) [math]\operatorname{T}(p(x)) \le poly(|x|)[/math].


Соотношение вероятностных классов

Теорема:
1. [math]\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}[/math]

2. [math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP} \subset \mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}[/math]

3. [math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{BPP}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Утверждение [math]\mathrm{P} \subset \mathrm{ZPP}[/math] является очевидным, так как программы, разрешающие [math]\mathrm{P}[/math], удовлетворяют ограничениям класса [math]\mathrm{ZPP}[/math].
Покажем, что [math]\mathrm{ZPP} = \mathrm{RP} \cap \mathrm{coRP}[/math]. ...
2. Покажем, что [math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{NP}[/math]. Если в разрешающей программе для [math]L \in \mathrm{RP}[/math] заменить все вызовы random() на недетерминированный выбор, то получим программу с ограничениями [math]\mathrm{NP}[/math], разрешающую [math]L[/math].
Покажем, что [math]\mathrm{PP} \subset \mathrm{PS}[/math]. Пусть [math]p[/math] — разрешающая программа для языка [math]L \in \mathrm{PP}[/math]. Она используют не более чем полиномиальное количество вероятностных бит, так как сама работает за полиномиальное время. Тогда программа для [math]\mathrm{PS}[/math] будет перебирать все участки вероятностных лент нужной полиномиальной длины и запускать на них [math]p[/math]. Ответом будет [math]0[/math] или [math]1[/math] в зависимости от того, каких ответов [math]p[/math] оказалось больше.
Теперь докажем, что [math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{PP}[/math]. Приведем программу [math]q[/math] с ограничениями класса [math]\mathrm{PP}[/math], которая разрешает [math]L \in \mathrm{NP}[/math]. Пусть функция infair_coin() моделирует нечестную монету, а именно возвращает единицу с вероятностью [math]1/2 - \varepsilon[/math], где [math]\varepsilon[/math] мы определим позже, и ноль с вероятностью [math]1/2 + \varepsilon[/math]. Пусть также [math]V[/math] — верификатор сертификатов для [math]L[/math]. Тогда [math]q[/math] будет выглядеть следующим образом: 

 q(x):
   c <- случайный сертификат (полиномиальной длины)
   return V(x, c) ? 1 : infair_coin()

Необходимо удовлетворить условию [math]\operatorname{P}(p(x) = [x \in L]) \gt 1/2[/math].

Пусть [math]x \notin L[/math]. В этом случае [math]V(x, c)[/math] вернет [math]0[/math] и результат работы программы будет зависеть от нечестной монеты. Она вернет [math]0[/math] с вероятностью [math]1/2 + \varepsilon \gt 1/2[/math].

Пусть [math]x \in L[/math]. Тогда по формуле полной вероятности [math]\operatorname{P}(p(x) = 1) = p_0 + (1 - p_0) (1/2 - \varepsilon)[/math], где [math]p_0[/math] — вероятность угадать правильный сертификат. Заметим, что поскольку все сертификаты имеют полиномиальную длину и существует хотя бы один правильный сертификат, [math]p_0[/math] не более чем экспоненциально мала. Найдем [math]\varepsilon[/math] из неравенства [math]\operatorname{P}(p(x) = 1) \gt 1/2[/math]:

[math]p_0 + 1/2 - \varepsilon - p_0 / 2 + p_0 \varepsilon \gt 1/2[/math];

[math]p_0 / 2 + (p_0 - 1)\varepsilon \gt 0[/math];

[math]\varepsilon \lt p_0 (1 - p_0) / 2[/math].

Достаточно взять [math]\varepsilon \lt p_0 / 4[/math]. Из сделанного выше замечания следует, что работу функции infair_coin() можно смоделировать с помощью полиномиального количества вызовов random(). Таким образом, мы построили программу [math]q[/math], удовлетворяющую ограничениям класса [math]\mathrm{PP}[/math].


3. ...
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Литература

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Вероятностные_вычисления._Вероятностная_машина_Тьюринга&oldid=22953»