PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF)

Определение:

[math]TQBF[/math] расшифровывается как True Quantified Boolean Formula. Это язык верных булевых формул с кванторами. [math]TQBF=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}[/math].

Чтобы доказать, что [math]TQBF \in \mathrm{PSC}[/math], необходимо показать, что [math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math] и [math]TQBF \in \mathrm{PS}[/math].

Лемма (1):

[math]TQBF \in \mathrm{PS}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Чтобы доказать это, просто приведём программу [math]solve[/math], решающую булеву формулу с кванторами на [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и работающую за конечное время. [math]solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \ldots, x_n))[/math] if [math]Q_1 = \forall[/math] return [math]solve(Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(0, x_2, \ldots, x_n)) \land solve(Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(1, x_2, \ldots, x_n))[/math] if [math]Q_1 = \exists[/math] return [math]solve(Q_2 x_2 \ldots Q_n x_n \phi(0, x_2, \ldots, x_n)) \lor solve(Q_2 x_2 \dots Q_n x_n \phi(1, x_2, \ldots, x_n))[/math] Эта программа требует [math]O(n)[/math] дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — [math]n[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

[math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{PS}[/math]. Построим такую функцию [math]f[/math], что [math]x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF[/math] и [math]T(f, x) \le p(|x|)[/math]. Так как [math]L \in \mathrm{PS}[/math], то существует детерминированная машина Тьюринга [math]M[/math], распознающая его с использованием памяти полиномиального размера. Пусть [math]\Omega = |\Sigma \cup Q|[/math]. Пусть [math]I[/math] — конфигурация [math]M[/math]. Размер конфигурации равен [math]\Omega n[/math], где [math]n[/math] длина входа. Тогда всего конфигураций [math]2^{\Omega n}[/math]. Введём обозначение [math]x_{I,i,c}[/math] — в конфигурации [math]I[/math] на [math]i[/math]-том месте стоит символ [math]c[/math]. Тогда выражение [math]\exists I[/math] обозначает [math] \exists x_{I,1,c_1} \, \exists x_{I,1,c_2} \ldots \exists x_{I,1,c_\Omega} \, \exists x_{I,2,c_1} \ldots[/math] Аналогично выражение [math] \forall I[/math] обозначает [math] \forall x_{I,1,c_1} \, \forall x_{I,1,c_2} \ldots \forall x_{I,1,c_\Omega} \, \forall x_{I,2,c_1} \ldots[/math] Рассмотрим функцию [math]\phi(A, B, t)[/math], проверяющую следующее условие: конфигурация [math]B[/math] достижима из конфигурации [math]A[/math] не более, чем за [math]2^t[/math] шагов. [math]\phi(A, B, 0) = (A = B) \lor (A \vdash B)[/math]. [math]\phi(A, B, t) = \exists R \, \phi(A, R, t-1) \land \phi(R, B, t-1)[/math]. Заметим, что данная формула имеет экспоненциальный размер, поэтому воспользуемся квантором [math]\forall[/math] и перепишем её следующим образом: [math]\phi(A, B, t) = \exists R \,\forall U \,\forall V \, \{\phi(U, V, t-1) \lor [\neg(U = A \land V = R) \land \neg(U = R \land V = B)]\}[/math]. Размер полученной функции [math]\phi(A, B, t)[/math] полиномиален относительно [math]n[/math]. Теперь мы можем записать функцию [math]f(M, w)[/math], которая будет переводить ДМТ [math]M[/math] и слово на ленте [math]w[/math] в формулу из [math]TQBF[/math]. [math]f(M, w) = \exists S \, \exists F \, (S - start) \land (F - accept) \land \phi(S, F, log_2(2^{\Omega n})))[/math]. Выражения [math]S - start[/math] и [math]F - accept[/math] можно записать следующим образом: [math]S - start = x_{S, 1, w[1]} \land x_{S, 2, w[2]} \land \ldots \land x_{S, |w|, w[|w|]} \land x_{S, |w| + 1, B} \ldots \land x_{S, \Omega , B}[/math]. [math]F - accept = x_{S, |w| + 1, \#_y} \lor \ldots \lor x_{S, \Omega, \#_y}[/math]. Докажем, что сведение [math]f[/math] корректно. Если [math]w \in L[/math], то существует путь из стартовой конфигурации в финишную, причём длины не более, чем [math]2^{\Omega n}[/math], а значит формула [math]\phi[/math] верна. Если формула [math]f(M, w)[/math] оказалась верна, то существует путь из стартовой конфигурации в финишную длины не более, чем [math]2^{\Omega n}[/math]. Значит, ДМТ [math]M[/math] допускает слово [math]w[/math]. Тогда [math]w \in L[/math]. Таким образом, [math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math].

[math]\triangleleft[/math]