Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Определение

Определение:
[math]\mathrm{NP}=\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\mathrm{NTIME}(p(n))[/math].

То есть [math]\mathrm{NP}[/math] — это множество языков, разрешимых недетерминированной программой за полиномиальное время.

Определение:
[math]\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) - poly:x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\le p(|x|), R(x,y)=1\}[/math].

Нестрого говоря, [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.

Теорема:
[math]\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • [math]\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}[/math].

Пусть [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Тогда существуют [math]R(x,y)[/math] и полином [math]p[/math] из определения [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math]. Построим недетерминированную программу [math]q(x)[/math], разрешающую [math]L[/math]. 

 q(x):
   y ← [math]\{0,1\}^{p(|x|)}[/math]
   return R(x,y)

Если [math]x\in L[/math], то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, [math]q[/math] разрешает [math]L[/math], следовательно [math]L\in \mathrm{NP}[/math].

  • [math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}[/math].
Пусть [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда существует недетерминированная программа [math]q(x)[/math], разрешающая этот язык. Построим верификатор [math]R(x,y)[/math]. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе [math]q[/math], приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в [math]q[/math] может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе [math]q[/math], только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если [math]x\in L[/math], то в [math]q[/math] существует последовательность выборов таких, что [math]q(x)=1[/math], следовательно существует и верный сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то для любой последовательности выборов [math]q(x)=0[/math], следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примечание: определение [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] часто называют также «определением NP на языке сертификатов».

Свойства

Теорема:
Пусть [math]L_1,L_2\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда:
  1. [math]L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  2. [math]L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  3. [math]L_1L_2\in \mathrm{NP}[/math];
  4. [math]L_1^*\in \mathrm{NP}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p[/math] разрешает [math]L_1[/math], а [math]q[/math] разрешает [math]L_2[/math].

1. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cap L_2[/math]: 

 r(x):
  return p(x) && q(x)

2. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cup L_2[/math]: 

 r(x):
  return p(x) [math]||[/math] q(x)

3. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1L_2[/math]: 

 r(x):
   n ← [math]|[/math]x[math]|[/math]
   mid ←? {1..n}
   return p(x[1..mid]) && q(x[mid+1..n])

4. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1^*[/math]: 

 r(x):
   n ← [math]|[/math]x[math]|[/math]
   prev ← 1
   do
     cur ←? {prev..n}
     if (!p(x[prev..cur]))
       return false
     prev ← cur+1
   while (cur != n)
   return true

[math]\triangleleft[/math]

Примеры NP-языков

  • Язык раскрасок графа в [math]k[/math] цветов;
  • Задача о клике;
  • Тетрис

Все эти языки также являются [math]\mathrm{NP}[/math]-полными. По теореме Ладнера существует язык из [math]\mathrm{NP}[/math], не являющийся [math]\mathrm{NP}[/math]-полным.

Связь P и NP

Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}[/math], так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти редкий [math]\mathrm{NP}[/math]-полный язык; было доказано, что доказательство должно быть нерелятивизующимся; различные попытки найти полиномиальные решения для задач из [math]\mathrm{NPC}[/math]:

Некоторые задачи из [math]\mathrm{P}[/math] очень похожи на задачи из [math]\mathrm{NP}[/math]. В каждой из приведенных ниже пар задач первая разрешима за полиномиальное время, а вторая является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. При этом различие между задачами кажется совершенно незначительным.

См. также

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Классы_NP,_coNP,_Σ₁,_Π₁&oldid=24523»