Определение
| Определение: |
| [math]\mathrm{NP}=\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\mathrm{NTIME}(p(n))[/math]. |
То есть [math]\mathrm{NP}[/math] — это множество языков, разрешимых недетерминированной программой за полиномиальное время.
| Определение: |
| [math]\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) - poly:x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\le p(|x|), R(x,y)=1\}[/math]. |
Нестрого говоря, [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор [math]R(x,y)[/math], а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.
| Теорема: |
[math]\mathrm{\Sigma_1}=\mathrm{NP}[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
- [math]\mathrm{\Sigma_1} \subset \mathrm{NP}[/math].
Пусть [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. Тогда существуют [math]R(x,y)[/math] и полином [math]p[/math] из определения [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math]. Построим недетерминированную программу [math]q(x)[/math], разрешающую [math]L[/math].
q(x):
y ← [math]\{0,1\}^{p(|x|)}[/math]
return R(x,y)
Если [math]x\in L[/math], то программа сможет «угадать» подходящий сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то подходящего сертификата не существует по определению. Таким образом, [math]q[/math] разрешает [math]L[/math], следовательно [math]L\in \mathrm{NP}[/math].
- [math]\mathrm{NP} \subset \mathrm{\Sigma_1}[/math].
Пусть [math]L\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда существует недетерминированная программа [math]q(x)[/math], разрешающая этот язык. Построим верификатор [math]R(x,y)[/math]. В качестве сертификата будем использовать последовательность выборов в программе [math]q[/math], приводящую к допуску слова (такой сертификат имеет полиномиальную длину, поскольку выборов в [math]q[/math] может быть сделано не более, чем время ее работы, то есть не более, чем полином). Верификатор будет аналогичен программе [math]q[/math], только вместо каждого недетерминированного выбора он будет присваивать значение, указанное в сертификате. Если [math]x\in L[/math], то в [math]q[/math] существует последовательность выборов таких, что [math]q(x)=1[/math], следовательно существует и верный сертификат. Если [math]x\notin L[/math], то для любой последовательности выборов [math]q(x)=0[/math], следовательно подходящего сертификата не существует. Таким образом, [math]L \in \mathrm{\Sigma_1}[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Примечание: определение [math]\mathrm{\Sigma_1}[/math] часто называют также «определением NP на языке сертификатов».
Свойства
| Теорема: |
Пусть [math]L_1,L_2\in \mathrm{NP}[/math]. Тогда:
- [math]L_1\cap L_2\in \mathrm{NP}[/math];
- [math]L_1\cup L_2\in \mathrm{NP}[/math];
- [math]L_1L_2\in \mathrm{NP}[/math];
- [math]L_1^*\in \mathrm{NP}[/math].
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть [math]p[/math] разрешает [math]L_1[/math], а [math]q[/math] разрешает [math]L_2[/math].
1. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cap L_2[/math]:
r(x):
return p(x) && q(x)
2. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1\cup L_2[/math]:
r(x):
return p(x) [math]||[/math] q(x)
3. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1L_2[/math]:
r(x):
n ← [math]|[/math]x[math]|[/math]
mid ←? {1..n}
return p(x[1..mid]) && q(x[mid+1..n])
4. Построим программу [math]r[/math], разрешающую [math]L_1^*[/math]:
r(x):
n ← [math]|[/math]x[math]|[/math]
prev ← 1
do
cur ←? {prev..n}
if (!p(x[prev..cur]))
return false
prev ← cur+1
while (cur != n)
return true
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Примеры NP-языков
- Язык раскрасок графа в [math]k[/math] цветов;
- Задача о клике;
- Тетрис
Все эти языки также являются [math]\mathrm{NP}[/math]-полными. По теореме Ладнера существует язык из [math]\mathrm{NP}[/math], не являющийся [math]\mathrm{NP}[/math]-полным.
Связь P и NP
Очевидно, что [math]\mathrm{P} \subseteq \mathrm{NP}[/math], так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найти редкий [math]\mathrm{NP}[/math]-полный язык; было доказано, что доказательство должно быть нерелятивизующимся; различные попытки найти полиномиальные решения для задач из [math]\mathrm{NPC}[/math]:
Некоторые задачи из [math]\mathrm{P}[/math] очень похожи на задачи из [math]\mathrm{NP}[/math]. В каждой из приведенных ниже пар задач первая разрешима за полиномиальное время, а вторая является [math]\mathrm{NP}[/math]-полной. При этом различие между задачами кажется совершенно незначительным.
См. также
