L_p
| Определение: |
| [math] L_p, (p \ge 1) [/math] — совокупность [math] 2\pi [/math]-периодических функций, суммируемых с [math] p [/math]-й степенью на промежутке [math] Q = [-\pi, \pi] [/math].
То есть,
[math]L_p = \{ f | f(x + 2\pi) = f(x), \int\limits_Q |f|^p \lt +\infty \} [/math]. |
| Определение: |
| Систему функций [math] 1,\ \cos x,\ldots \sin x,\ \cos nx,\ \sin nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math] называют тригонометрической системой функций. |
Каждая из этих функций ограниченная, [math] 2\pi [/math]-периодическая, следовательно, все функции принадлежат [math]L_p[/math].
Заметим, что, из-за [math] 2\pi [/math]-периодичности, [math] \int\limits_Q \cos nx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx dx = 0 [/math].
| Утверждение: |
При [math] n \ne m [/math] :
[math] \int\limits_Q \cos nx \sin mx dx = 0,\ \int\limits_Q \cos nx \cos mx dx = 0,\ \int\limits_Q \sin nx \sin mx dx = 0[/math],
[math] \int\limits_Q dx = 2\pi,\ \int\limits_Q \cos^2 nx dx = \int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi [/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Первые три равенства получаются двухкратным интегрированием по частям интеграла в левой части. Четвертое равенство очевидно, последние два получаются из предыдущих, так как [math] \cos^2 nx = \frac12 (1 + \cos 2nx),\ \sin^2 nx = \frac12 (1 - \cos 2nx) [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| Тригонометрическим рядом называется ряд:
[math]\frac{c_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (c_n \cos nx + d_n \sin nx)[/math].
Если, начиная с какого-то места, [math] c_n = d_n = 0 [/math], то соответствующая сумма называется тригонометрическим полиномом. |
Замечание (предел в пространстве [math]L_1[/math]): если [math]f_n, f \in L_1[/math], то
[math]
f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n
\iff
\int\limits_Q |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
[/math].
| Теорема: |
Пусть тригонометрический ряд [math] \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{+\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) [/math] сходится в [math] L_1 [/math] и имеет суммой функцию [math] f [/math]. Тогда для него выполняются формулы Эйлера-Фурье:
[math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f,\ a_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos nx dx,\ b_n = \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \sin nx dx [/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Формула для [math] a_0 [/math] очевидна.
Пусть [math] S_n(x) = \frac {a_0}{2} + \sum\limits_{k = 1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) [/math].
По условию, [math] \int\limits_{Q} | f(x) - f_n(x) | dx \rightarrow 0 [/math]. Зафиксируем некоторое натуральное [math] p [/math]:
[math] | \int\limits_{Q} (f(x) - S_n(x)) \cos px dx | \le \int\limits | f(x) - S_n(x) | dx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math].
Значит, [math] \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx - \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx \rightarrow 0 [/math].
Если [math] n \gt p [/math], то [math] \int\limits_{Q} S_n(x) \cos px dx = \int\limits_{Q} a_p \cos^2 px dx = \pi a_p [/math].
Значит, [math] \frac{1}{\pi} \int\limits_{Q} f(x) \cos px dx = a_p [/math].
Аналогично доказывается формула для [math] b_p [/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Определение: |
| Пусть функция [math] f \in L_1 [/math]. Ряд Фурье [math] f [/math] — тригонометрический ряд, коэффициенты которого вычислены по формулам Эйлера-Фурье. |
Колмогоров построил пример суммируемой [math] 2\pi [/math]-периодической функции, ряд Фурье которой расходится в каждой точке. Отсюда возникает круг проблем, которые связаны с поиском условий, гарантирующих сходимость ряда Фурье, сходящегося в каждой точке. Это тем более важно, учитывая, что существуют непрерывные [math] L_p [/math]-функции, ряды которых расходятся в бесконечном числе точек.
Карлсон доказал, что для функций из [math] L_2 [/math] ряд Фурье сходится почти всюду.
Если функция является [math] 2T [/math]-периодической, то для нее соответствующей тригонометрической системой будет [math] 1,\ \cos \frac{\pi}{T} x,\ldots \sin \frac{\pi}{T} x,\ \cos \frac{\pi}{T} nx,\ \sin \frac{\pi}{T} nx, \ldots (n = 1, 2 \ldots)[/math].
Пусть [math] f(x) [/math] определена и суммируема на [math] [0; a] [/math]. Тогда, продолжая ее периодически тем или иным способом на всю ось, мы будем получать разные ряды Фурье:
- [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как четную функцию. Тогда [math] a_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \cos \frac{\pi}{T}nx dx,\ b_n = 0 [/math], ряд Фурье выглядит как [math] \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos \frac{\pi}{T}nx [/math].
- [math] T = a [/math], на [math] [-a; 0] [/math] продолжаем [math] f [/math] как нечетную функцию. В этом случае [math] a_n = 0,\ b_n = \frac2T \int\limits_{Q} f(x) \sin \frac{\pi}{T}nx dx [/math], ряд Фурье имеет вид [math] \sum_{n = 1}^{\infty} b_n \sin \frac{\pi}{T}nx [/math].
- [math] 2T = a [/math], здесь присутствуют все члены ряда.
Итак, если [math] f [/math] задана на [math] [0; a] [/math], то на этом участке ее можно представлять различными рядами Фурье.
