Основные определения
| Определение: |
| Множество [math]X^* \subseteq \mathbb{X}[/math] называется Парето оптимальным, если:
[math]\mathrm{\forall x^* \subset X^* \not \exists x \subset \mathbb{X} : x \succ x^*}[/math],
где [math] x \succ x^* [/math]([math]x[/math] доминирует [math]x^*[/math])[math] \leftrightarrow \left( \forall i \in 1 \ldots d: f_i(x) \geq f_i(x^*) \right) \bigwedge \left( \exists i \in 1 \ldots d: f_i(x) \gt f_i(x^*)\right)[/math]
[math]P(X^*)[/math] - множество оптимальных по Парето решений, его также называют Парето-фронтом. Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время. |
| Определение: |
| Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \geq 3[/math] и [math]X = \{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X}[/math]. Наименьшим вкладом этого множества называется [math]MinCon(X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} (x_i-x_{i-1})(f(x_i)- f(x_{i-1}))[/math]. |
Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта
Множество функций вида: [math]f:[a,A] \rightarrow [b,B][/math], где [math]f[/math] убывает и [math]f(a)=B, f(A)=b[/math] обозначим через [math]\mathbb{F}[/math].
Коэффициент апроксимации монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков [math] [a,A][/math] и [math][b,B] [/math]. Так как для фиксированных констант [math] \mu , \nu [/math] функция [math] f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ][/math] и [math] f^*= \nu f(x/ \mu ) [/math] имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений [math]A/a[/math] и [math]B/b[/math].
Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, полунепрерывные Парето-фронты. Условие полунепрерывности необходимо для того, чтобы существовало множество решение, максимизирующее индикатор гиперобъема.
Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-фронта из n ([math] \alpha _{OPT}[/math]) и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из n точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема ([math] \alpha _{HYP}[/math]) и докажем, что для количества точек [math] n [/math] они одинаковы, а именно [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math].
Индикатор гиперобъема
Нахождение лучшего коэффициента аппроксимации
Утверждение(3) ограничивает значение оптимального коэффицента апроксимации сверху: [math]1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}[/math] = [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math].
Нахождение коэффициента аппроксимации множества решения максимизируюшего гиперобъем
| Утверждение (2): |
Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \geq 3[/math] и [math]X= \{x_1, x_2, \ldots, x_d \} \in X [/math].
Тогда минимальный вклад данного множество решения:
[math]MinCon(X) \leq \frac{(x_n - x_1)(f(x_1) - f(x_n))}{(n-2)^2}[/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Исходя из определения минимальный вклад в гиперобъем множества равен минимуму из всевозможных площадей прямоугольников, образующихся между соседними точками множества решения и их значениями.
Пусть [math]a_i, b_i [/math] — длины сторон соответствующего прямоугольника, тогда:
[math] a_i \geq MINCON(X)/b_i \forall i \in [2, n-1][/math]
Это означает:
[math] \sum\limits_{i=2}^{n-1} MINCON(x)/b_i \leq \sum\limits_{i=2}^{n-1} a_i \leq \sum\limits_{i=2}^{n} a_i = \sum\limits_{i=2}^{n} x_i - \sum\limits_{i=1}^{n-1} x_i = x_n - x_1 [/math]
и поэтому:
[math]MINCON(X) \leq \frac{(x_n - x_1)}{\sum\limits_{i=2}^{n-1}1/b_i}[/math]
Так как среднее гармоническое не больше среднего арифметического:
[math]MinCon(X) \leq \frac{x_n-x_1}{\sum \limits_{i=2}^{n-1}1/b_i} \leq \frac{(x_n-x_1)\sum \limits_{i=2}^{n-1}b_i}{(n-2)^2} \leq \frac{(x_n-x_1)(f(x_1)-f(x_n))}{(n-2)^2}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Далее необходимо посчитать коэффициент аппроксимации для "внутренних" ([math]x \in [x_1, x_n][/math]) и "внешних" точек ([math]x \lt x_1[/math] или [math]x \gt x_n[/math]).
| Теорема (1): |
Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \gt 4[/math]. Любое множество решение [math]\{x_1, x_2, \ldots, x_d\} \in \mathbb{X}[/math] достигает [math]\alpha = 1 + \frac{ \sqrt{A/a} + \sqrt{B/b} }{n - 4}[/math] аппроксимации всех внутренних точек. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Допустим, что существует [math]x[/math], который не аппроксимируется [math]\alpha = 1 + \frac{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-4}[/math].
Пусть [math]x_i \lt x \lt x_i+1[/math], тогда [math]x \gt \alpha x_i, f(x) \gt \alpha f(x_{i+1})[/math].
Известно, что [math]MinCon(X) \geq (x-x_i)(f(x)-f(x_{i+1}))[/math].
После подстановки получим [math]MinCon(X) \gt (\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i+1})[/math] (1).
Применив утверждение(2), получим:
[math]\forall i \in [3, n-1][/math] [math]MinCon(X) \leq (x_i-x_1)(f(x_1)-f(x_i))/(i-2)^2 \leq x_iB/(i-2)^2[/math] (2)
[math]\forall i \in [1, n-3][/math] [math]MinCon(X) \leq (x_n-x_{i+1})(f(x_{i+1})-f(x_n))/(n-i-2)^2 \leq A f(x_{i+1})/(n-i-2)^2[/math] (3)
Таким образом, [math](\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i+1}) \lt \min \{\frac{x_iB}{(i-2)^2} ,\frac{A f(x_{i+1})}{(n-i-2)^2}\} \Leftrightarrow[/math] [math]\alpha \lt 1 + \min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}[/math].
Т.к. [math]\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2}[/math] монотонно убывает, а [math]\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}[/math] монотонно возрастает, то максимальное значение [math]\min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\}[/math] достигается при равенстве обоих членов:
[math]\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2} = \frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2}\} \Leftrightarrow i = 2 + \frac{(n-4)\sqrt{B/b}}{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}[/math].
Получим верхнюю оценку для [math]\alpha[/math]: [math]\alpha \lt 1 + \frac{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-4}[/math].
Вышесказанное верно для [math]3 \leq i \leq n-3[/math].
Для [math]i = 1, 2[/math] из (1) и (3) следует, что [math]\alpha \lt 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-i-2} \leq 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-4}[/math], что невозможно по условию теоремы.
Для [math]i = n-2, n-1[/math] по (1) и (2) [math]\alpha \lt 1 + \frac{ \sqrt{B/b} } {i-2} \leq 1 + \frac {\sqrt {B/b} } {n-4}[/math], что тоже невозможно по условию теоремы. |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Теорема (2): |
Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \gt 3[/math]. И [math] R = (R_x, R_y) \leq (0, 0) [/math] является точкой отсчета. Каждое множество решение [math]\{x_1, x_2, \ldots, x_d\} \in \mathbb{X} [/math] достигает [math]1 + \frac{A}{(a - R_x)(n - 2)^2}[/math] аппроксимации всех точек с [math]x \lt x_1[/math] и [math]1 + \frac{B}{(b - R_y)(n - 2)^2}[/math] аппроксимации всех точек с [math]x \gt x_n[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Доказательство производится c использованием ранее доказанного утверждения о [math]MinCon[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Из теоремы(1) и теоремы(2) выводятся следующие следствия:
Следствие 1: [math]\alpha_{opt} = 1 + \Theta(1/n)[/math]
Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \gt 4[/math], и [math] R = (R_x, R_y) \leq (0, 0) [/math] является точкой отсчета. Тогда:
[math] \lambda_{HYP} \leq 1 + \max{ \frac{ \sqrt{A/a} + \sqrt{B/b} }{n - 4}}{\frac{A}{(a - R_x)(n - 2)^2}}{\frac{B}{(b - R_y)(n - 2)^2}}[/math]
Следствие 2: [math]\alpha_{opt} = 1 + \Theta(1/n)[/math]
Пусть [math]f \in \mathbb{F}, n \gt 4[/math]. И [math] R = (R_x, R_y) \leq (0, 0) [/math] является точкой отсчета. Тогда если
[math] n \geq 2 + \max{\sqrt{A/a}}{\sqrt{B/b}}[/math]
или
[math]R_x \leq - \sqrt{Aa}/n, R_y \leq - \sqrt{Bb}/n[/math],
выполняется следующее неравенство
[math] \alpha _{HYP} \leq 1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a}} + \sqrt{ \frac{B}{b}}}{n - 4}[/math] = [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math],
то есть
[math] \alpha _{HYP} [/math] = [math] 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) [/math],
что и требовалось доказать.
Примечание
Конечно, зависимость от [math] [a,A][/math] и [math][b,B] [/math] в аппроксимационном коэффициенте оптимального множества решения меньше чем в аппроксимационном коэффициенте для множества, максимизирующего гиперобъем. Однако, полученная граница для коэффициента аппроксимации является верхней. На рисунке ниже можно увидеть пример поведения данных значений для определенного класса функций.
Источники
- Friedrich T., Bringmann K. - The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation
