Получение следующего объекта

Алгоритм

Определение:

Получение следующего объекта — это нахождение объекта, следующего за данным в лексикографическом порядке.

Объект $Q$ называется следующим за $P$, если $P \lt Q$ и не найдется такого $R$, что $P \lt R \lt Q$.

Отсюда понятен алгоритм:

• Находим суффикс минимальной длины, который можно изменить без изменения префикса текущего объекта $P$
• К оставшейся части дописываем минимальный возможный элемент (чтобы было выполнено правило $P \lt Q$)
• Дописываем минимальный возможный хвост

По построению получаем, что $Q$ — минимально возможный.

Специализация алгоритма для генерации следующего битового вектора

• Находим минимальный суффикс, в котором есть 0, его можно увеличить, не меняя оставшейся части
• Вместо 0 записываем 1
• Дописываем минимально возможный хвост из нулей

for i = n downto 1
    if a[i] == 0
        a[i] = 1
        for j = i + 1 to n
            a[j] = 0
        break

Пример работы

0	1	0	1	1	исходный битовый вектор
		^			находим элемент 0 (самый правый)
0	1	1	1	1	меняем его на 1
0	1	1	0	0	меняем элементы правее на нули
0	1	1	0	0	следующий битовый вектор

Специализация алгоритма для генерации следующей перестановки

• Двигаясь справа налево, находим элаемент, нарушающий убывающую последовательность (в обычном порядке, слева направо, см. пример)
• Меняем его с минимальным элементом, большим нашего, стоящим правее
• Перевернем правую часть

for i = n - 1 downto 1
    if a[i] < a[i + 1]
        // a[j] = min {a[j] > a[i], где j > i}
        swap(a[i], a[j])
        reverse(a[i + 1] .. a[n])
        break

Пример работы

1	3	2	5	4	исходная перестановка
		^			находим элемент, нарушающий убывающую последовательность
				^	минимальный элемент больше нашего
1	3	4	5	2	меняем их местами
1	3	4	2	5	разворачивам правую часть
1	3	4	2	5	следующая перестановка

Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества

Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:$N_n = \{1, 2, ..., n\}$

Определение:

Разбиением на множества называется представление множества, как объединения одного или более, попарно непересекающихся подмножеств множеств.

Например, для $n = 5$ существуют следующие разбиения:

$\{1, 2, 3, 4, 5\}$

$\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$

$\{1, 3, 5\}~ \{2, 4\}$

$\{1\}~\{2\}~\{3\}~\{4\}~\{5\}$

и т. д., всего таких разбиений для $n = 5$ существует 52.

Примечание: $\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$ и $\{4, 5\} ~\{1, 2, 3, ..., n\}$ - одно и то же разбиение на подмножества.

Упорядочим все разбиения на множества $N_n$ лексикографически. Для этого во-первых в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество $A \subset N_n$ лексикографически меньше подмножества $B \subset N_n$ , если верно одно из следующих условий:

• существует $i$ такое, что $i \in A$ , $i \notin A$, для всех $j \lt i: j \in A$ если и только если $j \in B$ , и существует $k \gt i$ такое что $k \in B$;
• $A \subset B$ и $i \lt j$ для всех $i \in A$ и $j \in B$ \ $A$.

Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение $N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k$ лексикографически меньше разбиения $N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l$ если существует такое $i$, что $A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i \lt B_i$.

Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:

• Будем хранить подмножества с помощью двумерного массива, например, разбиение $\{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}$ будет выглядеть так:

1	2	3
4	5

• Двигаясь снизу вверх и справа налево, будем удалять элементы, записывая их в отдельный массив. Будем повторять эту операцию, пока не выполнится одно из условий ниже:
  • Каждый раз, рассматривая новый элемент, будем пытаться заменить его уже удаленным элементом из нашего массива, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный. Важное замечание: мы не можем заменить 1ый элемент подмножества, мы можем только удалить его.
  • Каждый раз, переходя в новое подмножество, будем пытаться дополнить его элементом из уже удаленных, так, чтобы не нарушалась возрастающая последовательность элементов в этом подмножестве. Из всех подходящих элементов выбираем минимальный.
• Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся элементов.

// sets - матрица содержащая подмножества
// used - массив в котором мы храним, удаленные элементы
for i = n downto 0
    if  можем добавить в конец подмножества элемент из used
        //добавляем
        break;
    for j = a[i].size() - 1 downto 0
        if можем заменить элемент, другим элементом из массива used 
           //заменяем
           break;
        used.add(a[i][j]);   //удаляем элемент и добавляем его в массив
//далее выведем все получившиеся подмножества

Пример работы

Рассмотрим следующее разбиение:

1	2	3
4	5

1 Шаг:

1	2	3
4	5
	^		Удалили элемент 5.
			used

2 Шаг:

1	2	3
4
^			Удалили элемент 4. Так как он является первым в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
5			used

3 Шаг:

1	2	3	4
			^	Дополнили первое подмножество элементом 4
5				used

4 Шаг:

1	2	3	4
5				Дописали лексикографически минимальный хвост
				used

Ссылки

• Получение объекта по номеру
• Получение номера по объекту
• Визуализатор перестановок
• Пример компактного кода для перестановок (С++)