Участник:Yulya3102/Матан3сем

Основные вопросы

Список

Признак Вейерштрасса

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема о перестановке пределов

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Метод суммирования Абеля

Теорема о круге сходимости степенного ряда

Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда

Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

Необходимое условие дифференцируемости.

Достаточное условие дифференцируемости

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Дифференцирование композиции

Дифференцирование ``произведений

Теорема Лагранжа для векторнозначных функций

Экстремальное свойство градиента

Независимость частных производных от порядка дифференцирования

Полиномиальная формула

Лемма о дифференцировании ``сдвига

Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)

Теорема о пространстве линейных отображений

Теорема Лагранжа для отображений

Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому

Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях

Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля

Лемма об оценке квадратичной форме и об эквивалентных нормах

Достаточное условие экстремума

Лемма о почти локальной инъективности

Теорема о сохранении области

Теорема о диффеоморфизме

Теорема о локальной обратимости

Теорема о неявном отображении

Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений

Необходимое условие относительного локального экстремума

Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел

Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути

Обобщенная формула Ньютона--Лебница

Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов

Лемма о дифференцировании интеграла по параметру

Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре

Лемма о гусенице

Лемма о равенстве интегралов по похожим путям

Лемма о похожести путей, близких к данному

Равенство интегралов по гомотопным путям

Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре

Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$

Лемма о локализации (в методе Лапласа)

Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов

Теоерма Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Формула Стирлинга для Гамма-функции

Признак Вейерштрасса

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n : E \rightarrow \mathbb{R} [/math] ([math] E [/math]— метрическое пространство). Пусть есть ряд [math] \sum c(x) [/math] — сходящийся, такой, что [math] \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n [/math]. Тогда [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

[math]\triangleleft[/math]

//критерий Коши — это, блин, што?

Теорема Стокса--Зайдля для рядов

Теорема:

Пусть ряд [math] \sum u_n(x) [/math], где [math] u_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], равномерно сходится на [math] X [/math]. Пусть есть точка [math] x_0 \in X [/math], такая, что все [math] u_n [/math] непрерывны в [math] x_0 [/math]. Тогда [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math] непрерывна в точке [math] x_0 [/math].

Теорема об интегрировании функционального ряда

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C[a; b] [/math] ([math] C [/math] — множество непрерывных функций), [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. Тогда [math] \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx [/math]

Теорема о дифференцировании функционального ряда

Проверить пункты про сходимость

Теорема:

Пусть [math] u_n \in C'[a; b] [/math] ([math] C' [/math] — множество непрерывно дифференцируемых функций). [math] \sum u_n(x) [/math] поточечно сходится на [math] [a; b] [/math], [math] S(x) = \sum u_n(x) [/math]. [math] \sum u'_n(x) = \varphi(x)[/math] при [math] x \in [a, b] [/math],[math] \sum u'_n(x) [/math] — равномерно сходится на [math] [a; b] [/math] к [math] \varphi(x) [/math]. Тогда [math] S(x) \in C'([a, b]) [/math] и [math] S'(x) = \phi(x) [/math].

Теорема о почленном предельном переходе в суммах

Теорема:

Пусть [math] u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle [/math]. 1) [math] \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n [/math] 2) [math] \sum u_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] \left \langle a, b \right \rangle [/math] Тогда 1) [math] \sum a_n [/math] — сходится 2) [math] \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) [/math]

Теорема о перестановке пределов

([math] \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} [/math])

Теорема:

Пусть [math] f_n: X \rightarrow \mathbb{R} [/math], [math] x_0 \in X [/math] (или даже [math] x_0 [/math] — предельная точка [math] X [/math]) 1) [math] f_n(x) [/math] сходится равномерно к [math] S(x) [/math] при [math] n \to + \infty, \ x \in X [/math] 2) [math] f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n [/math] Тогда 1) [math] \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} [/math] 2) [math] S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A [/math]

Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда

Теорема:

Пусть есть ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math] 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. [math] \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] монотонна по [math] n [/math] и равномерно сходится к [math] 0 [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Метод суммирования Абеля

Теорема:

Пусть [math] \sum a_n [/math] сходится. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \sum a_n x^n [/math]. Тогда [math] \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) [/math].

Экспонента, синус, косинус. Свойства.

[math] \mathrm{exp}(0) = 1 [/math]

[math] \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} [/math]

[math] (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) [/math]

[math] \mathrm{exp}(z) ≠ 0, \ \forall z \in \mathbb{C} [/math]

[math] \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} [/math]

[math] \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} [/math]

[math] \overline{\mathrm{exp}(iz)} = \mathrm{exp}(\overline{iz}) = \mathrm{exp}(-i\overline{z}) [/math]

[math] \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

[math] \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} [/math]

Пусть [math] T(x) = \mathrm{exp}(ix) [/math]

[math] T(x+y) = T(x)T(y) [/math]

[math] \cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) [/math]

[math] \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) [/math]

[math] |T(x)| = 1 [/math]

[math] \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} [/math]

[math] \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x} = 0 [/math]

[math] e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + ... [/math]

[math] \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + ... [/math]

[math] \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + ...[/math]

[math] |x| \lt 1: \ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + ... [/math]

[math] |x| \lt 1: \ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ... [/math]

Единственность производной

Теорема:

Производный оператор единственный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что значение производного оператора [math]A[/math] на каждом векторе [math]h\in\mathbb{R}^n[/math] определяется однозначно. По линейности оператора [math]A\mathbb{O}_n=\mathbb{O}_m[/math]. Зафиксируем [math]h\ne\mathbb{O}_n[/math]. Возьмём достаточно малое по модулю [math]t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}[/math] (достаточно взять [math]|t|\in\mathbb{R}\left(0, {r\over |h|}\right)[/math], где [math]B(x, r)\subset D[/math]) и подставим [math]th[/math] вместо [math]h[/math] в равенство из определения. По линейности [math]A[/math] имеем: [math]f(x+th)=f(x)+tAh+o(t), t\to0[/math]. Перенеся [math]f(x)[/math] в левую часть и разделив на [math]t[/math], получим: [math]{f(x+th)-f(x)\over t}=Ah+{o(t)\over t}\underset{t\to0}\to Ah[/math], то есть [math]Ah=\underset{t\to0}\lim{{f(x+th)-f(x)}\over{t}}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма о покоординатной дифференцируемости

Лемма:

Дифференцируемость отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций [math]f_i[/math] в точке [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f[/math] дифференцируемо в точке [math]x[/math]. Запишем равенство из определения производного оператора покоординатно: [math]f_i(x+h)=f_i(x)+A_i h+\alpha_i(h)|h|, i\in[1:m][/math]. Координатные функции [math]A_i[/math] линейного оператора [math]A[/math] являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения [math]\alpha[/math] равносильно такому же свойству его координатных функций [math]\alpha_i[/math]. Поэтому для [math]f_i[/math] выполнено определение дифференцируемости. Обратно, пусть [math]f_i[/math] дифференцируемы в точке [math]x[/math]. Тогда для каждого [math]i\in[1:m][/math] существует линейная функция [math]A_i[/math] и функция [math]\alpha_i[/math], непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для [math]f[/math] выполняется равенство из определения производного оператора, где [math]A[/math] — оператор с координатными функциями [math]A_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма об оценке нормы линейного оператора

Лемма:

Пусть [math] A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math] — линейный оператор. Тогда [math] \forall x \in \mathbb{R}^m \ ||Ax|| = c_A || x || [/math], где [math] c_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} [/math] ([math] a_{i, j} [/math] — элементы его матрицы)

Дифференцирование композиции

Теорема:

Пусть [math] F: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l, \ a \in \operatorname{Int} E, \ F(E) \subset I [/math], [math] G: I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n, \ b = F(a) \in \operatorname{Int} I [/math], [math] F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], [math] G [/math] дифференцируемо в [math] b [/math]. Тогда [math] G \circ F [/math] дифференцируемо в [math] a [/math], и при этом [math] (G \circ F)'(a) = G'(F(a)) ⋅ F'(a) [/math]

Экстремальное свойство градиента

Теорема:

Пусть функция [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math] дифференцируема в точке [math] x \in \operatorname{Int} D, \ \operatorname{grad} f(x) \neq \mathbb{O}_n [/math]. Тогда для любого [math] h \in \mathbb{R}^n: |h| = 1[/math] верно [math] \ -|\operatorname{grad} f(x)| \leqslant D_h f(x) \leqslant | \operatorname{grad} f(x)| [/math].

Определения и факты

Список

Равномерно сходящийся ряд

Радиус сходимости степенного ряда

Формула Адамара

Комплексная производная

Частные производные

Частная производная второго порядка, k-го порядка

Классы функций $C^k(E)$

Мультииндекс и обозначения с ним

Формула Тейлора (различные виды записи)

$n$-й дифференциал

Локальный максимум, минимум, экстремум

Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма

Диффеоморфизм

Формулировка теоремы о неявном отображении в терминах систем уравнений

Гладкое простое $k$-мерное многообразие в ${\mathbb R}^m$

Относительный локальный максимум, минимум, экстремум

Формулировка достаточного условия относительного экстремума

Кусочно-гладкий путь

Интеграл векторного поля по кусочно-гладкому пути

Потенциальное векторное поле

Потенциал векторного поля

Похожие пути

Локально-потенциальное векторное поле

Интеграл локально-потенциального векторного поля по произвольному пути

Гомотопия путей, связанная, петельная гомотопия

Односвязная область

Равномерно сходящийся ряд

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/4568/%D0%A0%D0%90%D0%92%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A0%D0%9D%D0%9E

Признак Абеля равномерной сходимости

Теорема:

Рассмотрим ряд [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math], [math] x \in X [/math]: 1) [math] \sum a_n(x) [/math] равномерно сходится, [math] x \in X [/math] 2) [math] b_n(x) [/math] равномерно ограничена и монотонна по [math] n [/math] Тогда [math] \sum a_n(x) b_n(x) [/math] равномерно сходится на [math] X [/math].

Радиус сходимости степенного ряда

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e7fcbdcc-1e1d-438f-b821-dbbe69c37389/view/

Формула Адамара

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 (в других местах бред)

Комплексная производная

http://clubmt.ru/lec3/lec34.htm (тут первое определение)

Экспонента синус и косинус комплексной переменной

Определение:

[math] \mathrm{exp}(z) := \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!} [/math] [math] \sin(z) := \mathrm{Im}(\mathrm{exp}(z)) [/math] [math] \cos(z) := \mathrm{Re}(\mathrm{exp}(z)) [/math]

Отображение, бесконечно малое в точке

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ E \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math], [math] a \in E [/math]. [math] \varphi [/math] — бесконечно малое при [math] x \to a [/math], если [math] \lim \varphi(x) = \mathbb{O}_l [/math]. ([math] \mathbb{O}_l [/math] — [math] l [/math]-мерный ноль)

o(h) при h->0

Определение:

Пусть [math] \varphi: \ \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l [/math]. [math] \varphi(h) = o(h) [/math] при [math] h \to 0 [/math], если [math] \frac{\varphi(h)}{||h||} [/math] — бесконечно малая при [math] h \to 0 [/math].

Дифференцируемое отображение

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,x\in\operatorname{Int}D[/math] ([math]\operatorname{Int} D[/math] — множество внутренних точек (внутренность) множества D). Если существует такой линейный оператор [math]A\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m)[/math] ([math]\mathcal{L}(X\to Y)[/math] — множество линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math]), что [math]f(x+h)=f(x)+Ah+o(h), h\to\mathbb{O}_n[/math], то отображение [math]f[/math] называется дифференцируемым в точке [math]x[/math]. При этом оператор [math]A[/math] называется производным оператором, производным отображением или, короче, производной отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]f'(x)[/math].

Производный оператор

Определение:

Оператор [math] A [/math] из определения производной называется производным оператором отображения [math] f [/math] в точке [math] x [/math].

Дифференциал отображения

Определение:

Величина [math]f'(x)h[/math] называется дифференциалом отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math], соответствующим приращению [math]h[/math], и обозначается [math]df(x,h)[/math] или [math]d_x f(h)[/math].

Матрица Якоби

Определение:

Пусть отображение [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m[/math] дифференцируемо в точке [math]x\in\operatorname{Int} D[/math]. Матрица оператора [math]f'(x)[/math] называется матрицей Якоби отображения [math]f[/math] в точке [math]x[/math].

Частные производные

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F

Производная по вектору, по направлению

Определение:

Пусть [math] f: D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} [/math], [math] x \in Int(D) [/math], [math] h \in \mathbb{R}^n [/math]. Предел [math] \lim_{t \to 0} \frac{f(x + th) - f(x)}{t} [/math] называется производной функции [math] f [/math] по вектору [math] h [/math] в точке [math] x [/math] и обозначается [math] D_h f(x) [/math] или [math] \frac{\partial f}{\partial h}(x) [/math]. Если [math] |h| = 1 [/math], то вектор [math] h [/math] называется направлением, а производная по нему — производной по направлению [math] h [/math].

Градиент

Определение:

Пусть [math]f:D\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},x\in\operatorname{Int}D[/math]. Если существует такой вектор [math]a\in\mathbb{R}^n[/math], что [math]f(x+h)=f(x)+\langle a,h\rangle+o(h),h\to\mathbb{O}_n[/math], то функция [math]f[/math] называется дифференцируемой в точке [math]x[/math]. Вектор-строка [math]a[/math] называется градиентом функции [math]f[/math] в точке [math]x[/math] и обозначается [math]\operatorname{grad} f(x)[/math] или [math]\nabla f(x)[/math]. Символ [math]\nabla[/math] называется символом или оператором Гамильтона.

Частная производная второго порядка, k-го порядка

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Мультииндекс и обозначения с ним

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D1%81

Формула Тейлора (различные виды записи)

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules4.php

$n$-й дифференциал

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Норма линейного оператора

Напомним, что норма в векторном пространстве [math] X [/math] над [math] \mathbb{R} [/math] — функция [math] p: X \to \mathbb{R}_+ [/math], удовлетворяющая аксиомам нормы: положительная определённость ([math] p(x) = 0 [/math] тогда и только тогда, когда [math] x = 0 [/math]), положительная однородность ([math] p(\lambda x) = |\lambda| p(x) [/math], где [math] \lambda [/math] — скаляр), неравенство треугольника ([math] p(x + y) \leqslant p(x) + p(y)[/math]). Аналогично для матриц (там [math] \lambda \in \mathbb{R} [/math]).

Определение:

Пусть [math] X, Y [/math] — нормированные пространства (оба вещественные или оба комплексные), [math] A: X \to Y [/math] — линейный оператор. Нормой оператора [math] A [/math] называется величина [math] || A || = \underset{||x||_X \leqslant 1}{\sup} ||Ax||_Y [/math].

Локальный максимум, минимум, экстремум

http://www.sernam.ru/lect_math2.php?id=52

Диффеоморфизм

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%BC