Материал из Викиконспекты
1 Определение МП, замыкание в МП.
| Определение: |
Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
- [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
- [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
- [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника
Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством. |
| Определение: |
| Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества. |
2 Принцип вложенных шаров в полном МП.
| Утверждение (принцип вложенных шаров): |
Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset[/math], и состоит из одной точки. |
3 Теорема Бэра о категориях.
4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.
5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.
6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.
7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.
8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.
9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.
10 Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].
11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.
12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.
13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.
14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.
15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.
16 Наилучшее приближение в [math]H[/math] для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H = H_1 \oplus H_2[/math].
17 Счетно-нормированные пространства, метризуемость.
18 Условие нормируемости СНТП.
19 Функционал Минковского.
20 Топология векторных пространств.
21 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.
22 Коразмерность ядра линейного функционала.
23 Непрерывный линейный функционал и его норма.
24 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.
25 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.
26 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).
27 Два следствия из теоремы Хана-Банаха.
28 Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].
29 Непрерывный линейный оператор и его норма.
30 Продолжение линейного оператора по непрерывности.
31 Полнота пространства [math]L(X,Y)[/math].
32 Теорема Банаха-Штейнгауза.
33 Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.
34 Условие непрерывной обратимости лин. оператора.
35 Теорема Банаха о непрерывной обратимости [math]I-C[/math].
36 Лемма о множествах [math]X_n = {||Ax|| \lt n ||x||}[/math].
37 Теорема Банаха об обратном операторе.
38 Теорема о замкнутом графике.
39 Теорема об открытом отображении.
40 Теорема о резольвентном множестве.
41 Теорема о спектральном радиусе.
42 Аналитичность резольвенты.
43 Непустота спектра ограниченного оператора.
