Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр

1 Определение МП, замыкание в МП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

2 Принцип вложенных шаров в полном МП.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset[/math], и состоит из одной точки.

3 Теорема Бэра о категориях.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.

• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]

Утверждение:

Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.

Определение:

Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется: [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{0}[/math] [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math] [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math] Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.

В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.

Например, если [math]E \subset X[/math], [math]a[/math] — предельная точка множества [math]E[/math], [math]f \colon E \to Y[/math] (где [math]X[/math] и [math]Y[/math] — нормированные пространства), то [math]A[/math] называется пределом функции [math]f[/math] при [math]x \rightarrow a[/math] и обозначается [math]\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)[/math], если для любого положительного [math]\varepsilon[/math] найдётся [math]\delta \gt 0[/math], для которого выполняется следствие [math]0 \lt \|x - a\| \lt \delta \Rightarrow \|f(x) - A\| \lt \varepsilon[/math].

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \rightarrow x[/math], [math]y_n \rightarrow y[/math], [math]\alpha_n \rightarrow \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \rightarrow x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \rightarrow \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \rightarrow \|x\|[/math]

7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.

Определение:

Нормы [math]\| \|_1[/math], [math]\| \|_2[/math] эквивалентны, если существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math]. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: [math]x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \Leftrightarrow x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].

Определение:

Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.

Определение:

Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть [math]X[/math] — НП, а [math]Y[/math] - собственное (то есть не совпадающее с [math]X[/math]) подпространство [math]X[/math], тогда [math]\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|[/math])

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если [math]X[/math] - бесконечномерное НП, то единичный шар [math]S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}[/math] в нем не компактен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in S_1[/math], [math]Y_1 = \mathcal{L}(x_1)[/math] — собственное подпространство [math]X[/math], применим лемму Рисса, возьмем [math]\varepsilon = {1 \over 2}[/math], существует [math]x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}[/math], заметим, что [math]x_2[/math] окажется в [math]S_1[/math]. [math]Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)[/math], опять применим лемму Рисса, существует [math]x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2[/math], [math]x_3[/math] будет в [math]S_1[/math]. Продолжаем так же для [math]Y_3 \dots Y_n \dots[/math]. Процесс никогда не завершится, так как [math]X[/math] — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в [math]S_1[/math], но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как [math]\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}[/math], следовательно, [math]S_1[/math] не компактно.

[math]\triangleleft[/math]

10 Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].

Чо-то не нашёл, где это и что именно сюда надо пилить

11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.

Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:

Утверждение:

[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

//не нашёл этого в конспектах, беру с википедии

Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства [math]H[/math] среди прочих банаховых пространств, является равенство параллелограмма: [math]\forall x,y\in H\ \quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)[/math]

12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).

Определение:

Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_Y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.

Теорема (Бессель, неравенство Бесселя):

[math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2[/math], где [math]e_1 \dots e_n \dots \in H [/math] - ортонормированная система точек

14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.

Определение:

Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.

Теорема (Рисс-Фишер):

Пусть [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] - ортонормированная система в гильбертовом пространстве [math]H[/math], [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty\lt [/math]. Тогда [math]\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle[/math] и выполняется равенство Парсеваля: [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2[/math]

17 Счетно-нормированные пространства, метризуемость.

Определение:

Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]p_1 \dots p_n \dots[/math] — полунормы. Если для [math]x \in X[/math] из того, что [math]\forall k: p_k(x) = 0[/math] следует, что [math]x = 0[/math], [math]X[/math] называют счетно-нормированным пространством

Утверждение:

Счетно-нормированные пространства можно метризовать как [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math]: [math]\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}[/math].

18 Условие нормируемости СНТП.

<wikitex>

Определение:

Полунорма $p_n$ в системе $p$ существенна, если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.

Теорема (критерий нормируемости счетно-нормированного пространства):

Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.

</wikitex>

19 Функционал Минковского.

<wikitex>

Определение:

$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:

Определение:

$A$ радиальное/поглощающее, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

Определение:

Пусть $X$ — линейное пространство, $M$ — радиальное подмножество, тогда функционал Минковского $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda M\}$.

</wikitex>

20 Топология векторных пространств.

<wikitex>

Определение:

Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть: непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует $U(x_0):

</wikitex>

21 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.

Теорема (Колмогоров):

Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.

22 Коразмерность ядра линейного функционала.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если [math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)[/math]. Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math]. [math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math]. Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]: [math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math] [math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math] — классы смежности по [math]Y[/math]. [math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по [math]Y[/math].

Определение:

[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math] — гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].

Утверждение (Коразмерность ядра функционала):

[math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math]

23 Непрерывный линейный функционал и его норма.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math] — непрерывен в точке [math] x [/math], если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math].

24 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.

Утверждение:

[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.

Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):

[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm{Ker}\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math].

26 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).

Теорема (Хан, Банах):

Пусть [math]X[/math] — сепарабельное нормированное пространство, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math], [math]f: Y \rightarrow \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \rightarrow \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math], [math]\|g\| = \|f\|[/math].

27 Два следствия из теоремы Хана-Банаха.

Утверждение:

Пусть [math]X[/math] - нормированное пространство. Тогда [math]\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1[/math].

Утверждение:

Пусть [math]X[/math] - нормированное пространство, [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — линейно независимый набор в [math]X[/math]. Тогда в [math]X[/math] существует биортогональная система функционалов [math]f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}[/math]

28 Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].

Теорема (Рисс, об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве):

[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math], причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]