Определения и формулировки, 3 семестр, Кохась К.П.

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ

ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ

Содержание

Фотки определений и формулировок

photos

В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше.

Определения

Жорданово множество

Объем жорданова множества

1- и 2-формы

Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$

Внешнее произведение форм

Внутреннее произведение

Интеграл 1-формы по ориентированной кривой

Ориентированная область в $\mathbb R^2$

Правоориентированная область

Дифференциал дифференциальной формы

Перенос формы при гладком отображении

Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$

Полукольцо

Алгебра

Сигма-алгебра

Объем

Определение:
[math]\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}[/math] — объем, если:
  1. [math]\mu(\varnothing) = 0[/math]
  2. [math]\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}[/math]
  3. [math]\forall A: \mu A \ge 0[/math]
Если [math]\forall A : \mu A \neq +\infty[/math], то объем называется конечным.


Мера

Сигма-конечная мера

Борелевская оболочка системы множеств

Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$

Мера Лебега

Теорема о Лебеговском продолжении меры

Полная мера

Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига

Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса

Степенчатая функция

Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции

Измеримая функция

Свойство, выполняющееся почти везде

Сходимость почти везде

Сходимость по мере

Эквивалентные функции

Формулировки

Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов

Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность

Теорема Фубини

Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)

Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"

Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности

Теорема о непрерывности снизу

Теорема о непрерывности сверху

Счетная аддитивность классического объема

Регулярность меры Лебега

Лемма о переносе меры с помощью отображения

Лемма о сохранении измеримости

Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении

Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях

Лемма "о структуре компактного оператора"

Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении

Теорема об измеримости пределов и супремумов

Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых

Измеримость монотонной функции

Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере

Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Определения_и_формулировки,_3_семестр,_Кохась_К.П.&oldid=30658»