Толстая куча на избыточном счётчике

здесь и далее "Толстая куча на избыточном счетчике" будет заменено на более лаконичное "Толстая куча".

Определение:

представление приоритетной очереди основано на использовании так называемых избыточных счетчиков, позволяющих за время [math]O(1)[/math] инкрементировать любой разряд. Заметим, что использованные здесь счетчики — лишь один из способов реализации толстых куч. На самом деле, для их реализации подойдет произвольный d-арный счетчик, при условии, что трудоемкость инкрементирования любого его разряда является константной.

Толстое дерево

Определение:

Определяем толстое дерево [math]F_k[/math] ранга [math]k ~(k = 0, 1, 2 ~\dots )[/math] следующим образом:

• Толстое дерево [math]F_0[/math] ранга ноль состоит из единственного узла.
  
• Толстое дерево [math]F_k[/math] ранга [math]k[/math], для [math]k = 1, 2, 3,\dots [/math], состоит из трех деревьев [math]F_{k-1}[/math] ранга [math]k[/math],таких, что корни двух из них являются самыми левыми потомками корня третьего.

Ранг узла [math]x[/math] в толстом дереве определяется как ранг толстого поддерева с корнем в узле [math]x[/math].

Пример толстых деревьев [math]F_0, F_1, F_2, F_3[/math]

Утверждение:

Свойства толстых деревьев: В толстом дереве ранга [math]k[/math] ровно [math]3^k[/math] узлов. Для любого натурального числа [math]n[/math] существует лес из толстых деревьев, в котором ровно [math]n[/math] узлов. Такой лес можно построить, включив в него столько деревьев ранга [math]i[/math], каково значение [math]i[/math]-го разряда представления числа [math]n[/math] в троичной системе счисления. Заметим, что для построения такого леса можно использовать и избыточные троичные представления. Толстый лес из [math]n[/math] узлов содержит [math]O(n\log{n})[/math] деревьев.

Определение:

Лес будем называть нагруженным, если он состоит из нескольких толстых деревьев, ранги которых не обязательно попарно различны и узлам которых взаимно однозначно поставлены в соответствие элементы взвешенного множества.

Определение:

Узел в нагруженном лесе назовем неправильным, если его ключ меньше ключа его родителя.

Определение:

Нагруженный лес назовем почти кучеобразным, если для каждого значения [math]k[/math] в нем имеется не более двух неправильных узлов ранга [math]k[/math].

Толстые кучи

Определение:

Толстая куча — это почти кучеобразный нагруженный лес.

Представление толстой кучи

Каждый узел толстой кучи будем представлять записью со следующими полями:

• [math]Key[/math] — ключ элемента, приписанного узлу дерева
• [math]Parent[/math] — указатель на родителя
• [math]Left[/math] — указатель на ближайшего левого брата
• [math]Right[/math] — указатель на ближайшего правого брата
• [math]LChild[/math] — указатель на самого левого сына
• [math]Rank[/math] — ранг узла.

"Братья" (узлы корневых деревьев, а также сыновья каждого узла) объединены в двусвязный список при помощи указателей [math]Left[/math] и [math]Right[/math]. У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель [math]Left[/math] ([math]Right[/math]) равен [math]NULL[/math].

Представление леса списком

Вспомогательные структуры

Нам понадобятся понятия корневого счетчика и счетчика нарушений.

Толстую кучу будем представлять записью следующего вида: [math]FatHeap = (RootCount, CountViolation, Minpointer, MaxRank)[/math], где:

[math]RootCount[/math] — массив, соответствующий корневому счетчику

[math]CountViolation[/math] — массив, соответствующий счетчику нарушений

[math]MinPointer[/math] — указатель на элемент кучи с минимальным ключом

[math]MaxRank[/math] — наибольший ранг среди рангов деревьев, присутствующих в куче

Избыточное представление чисел

Определение:

Избыточным [math]b[/math]-арным представлением числа [math]x[/math] будем называть последовательность [math]d = d_n, d_{n-1}, ... d_0[/math], такую что [math]x = {\sum\limits^{n}_{i = 0} {d_i}}{b^i}[/math] где [math] d_i \in \{0, 1, ..., b\} [/math], [math] i \in \{0, 1, ..., n\} [/math]

Определение:

Назовем [math]b[/math]-арное избыточное представление числа регулярным, если в нем между любыми двумя цифрами, равными [math]b[/math] , найдется цифра, отличная от [math]b-1[/math].

Определение:

Пусть [math]L(i)[/math] — номер разряда, отличного от [math]b-1[/math] и ближайшего слева от [math]i[/math]-го разряда в регулярном [math]b[/math]-арном избыточном представлении [math]d = d_n, ... d_0[/math]. Определим [math]L'(i)[/math] следующим образом: [math]L'(i) = L(i)[/math] , если [math]d_i \in \{b-1, b-2\}[/math] и [math]d(L(i))=b[/math]; [math]L'(i)[/math] — произвольное число [math]\gt i[/math], если [math]d_i \in \{b-1, b-2\}[/math] и [math]d(L(i))\lt b-1[/math]; [math]L'(i)[/math] — не определено, если [math]d \notin \{b-1, b-2 \}[/math] . Величину [math]L'(i)[/math] будем называть прямым указателем.

фиксация цифры

Фиксацией цифры [math]b[/math], стоящей в [math]i[/math]-м разряде представления [math]d[/math], (Fix(i)) назовем операцию, заключающуюся в обнулении цифры [math]d_i[/math] и инкрементировании цифры [math] d_{i+1} [/math], при этом если [math]i=n[/math] , то полагаем [math]d_{i+1} = 1[/math]. При каждом выполнении операции фиксации будем обновлять значение [math]L'(i)[/math]. Очевидно, при [math]b\gt 2[/math] операцию [math]Fix(i)[/math] можно выполнить следующим образом:

 Fix(i)
   if d[i] == b:
     d[i] = 0
     d[i + 1]++
   if d[i + 1] == b - 1:
     L'[i] = L'[i + 1]
   else:
     L'[i] = i + 1

инкремент

Инкрементирование [math]i[/math]-й цифры избыточного представления [math]d[/math] [math]Inc(i)[/math] можно выполнить так:

 Inc(i)
   Fix(i)
   if (d[i] == b - 1) or (d[i] == b - 2):
     Fix(L'[i])
   d[i]++
   Fix(i)

декремент

Эта схема может быть расширена для выполнения за константное время декрементирования произвольной цифры добавлением дополнительного цифрового значения [math]b+1[/math].

Корневой счетчик

Корневой счетчик состоит из избыточного троичного представления числа элементов в куче и набора списочных элементов.

Значение его [math]i[/math]-го разряда равно количеству деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в куче. При таком определении избыточного корневого представления число, которое оно представляет, равно числу узлов в куче, так как толстое дерево ранга [math]i[/math] содержит ровно [math]3^i[/math] узлов. Заметим, что состояние избыточного корневого представления определяется неоднозначно. Очевидно, что для любой толстой кучи, состоящей из [math]n[/math] элементов, существует регулярное избыточное представление корневого счетчика. Списочный элемент, приписанный [math]i[/math]-му разряду избыточного корневого представления, — это указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в куче, образованный посредством указателей [math]Right[/math] корневых узлов связываемых деревьев.

Утверждение (о корневом счетчике):

Из определения корневого счетчика следует: Корневой счетчик позволяет иметь доступ к корню любого дерева ранга [math]i[/math] за время [math]O(1)[/math]. Вставка толстого дерева ранга [math]i[/math] соответствует операции инкрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика. Удаление толстого поддерева ранга [math]i[/math] соответствует операции декрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика. Операции инкрементирования и декрементирования [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика осуществляются за время [math]O(1)[/math].

Корневой счетчик представляем расширяющимся массивом [math]RootCount[/math] , каждый элемент которого — запись с тремя полями:

• [math]RootCount[i].Value[/math] — [math]i[/math]-й разряд равный количеству деревьев ранга [math]i[/math].
• [math]RootCount[i].ForwardPointer[/math] — прямой указатель [math]i[/math]-го разряда.
• [math]RootCount[i].ListPointer[/math] — указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя [math]Right[/math] корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга [math]i[/math] , то указатель [math]ListPointer[/math] равен [math]NULL[/math].

Заметим, что если значение равно нулю, то нам неважно значение указателя [math]RootCount[i].ListPointer[/math].

Инициализация

Чтобы время инициализации счетчиков было [math]O(1)[/math], используем поразрядную их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную [math]MaxRank[/math], которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.

При начальной инициализации необходимо установить счетчики в состояние, которое отвечает пустой куче. Очевидно, что в пустой куче не может быть никаких нарушений.

Обновление прямого указателя

Обновление прямого указателя [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика заключается в выполнении следующего псевдокода:

 UpdateForwardPionter(i)
   if RootCount[i + 1].Value == 3 - 1:
     RootCount[i].ForwardPointer = RootCount[i + 1].ForwardPointer
   else:
     RootCount[i].ForwardPointer = i + 1

Корректировка при вставке

Корректировка списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга [math]i~(InsertTree(i,p))[/math]. Эта процедура вставляет новое дерево ранга [math]i[/math] (на него указывает указатель [math]p[/math]) в списочную часть [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика [math]RootCount[/math] выглядит так:

 InsertTree(i, p)
   p1 = RootCount[i].ListPointer
   if RootCount[i].Value [math] \ne [/math] 0:
     p.Right = p1
   else:
     p.Right = NULL
   p.Left = NULL
   RootCount[i].ListPointer = p

Корректировка при удалении

Корректировка списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга [math]i~(DeleteTree(i,p))[/math]. Эта процедура удаляет дерево ранга [math]i[/math] (на него указывает указатель [math]p[/math]) из списочной части [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика [math]RootCount[/math] . Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода:

 DeleteTree(i, p)
   p1 = RootCount[i].ListPointer
   if p1 == p:
     RootCount[i].ListPointer = p.Right
   j = 1
   while (j [math] \le [/math] RootCount[i].Value) and (p1.Right [math] \ne [/math] p):
     j++
     p1 = p1.Right
   p1.Right = p.Right

Связывание трех деревьев в одно

Связывание [math](Fastening (p1, p2, p3))[/math] трех толстых деревьев ранга [math]i[/math] в одно толстое дерево ранга [math]i+1[/math]. Эта функция принимает три указателя [math](p1, p2 ,p3)[/math] на три разных толстых дерева одного и того же ранга [math]i[/math] и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга [math]i+1[/math] . Процедура заключается в выполнении следующего псевдокода:

 Fastening (p1, p2, p3)
   if (p1.Key [math] \le [/math] p2.Key) and (p1.Key [math] \le [/math] p3.Key):
     MinP = p1
     p1 = p2
     p2 = p3
   if (p2.Key [math] \le [/math] p1.Key) and (p2.Key [math] \le [/math] p3.Key):
     MinP = p2
     p1 = p1
     p2 = p3
   if (p3.Key [math] \le [/math] p1.Key) and (p3.Key [math] \le [/math] p2.Key)
     MinP = p3
     p1 = p1
     p2 = p2
   p1.Right = p2
   p1.Left = NULL
   p1.Parent = MinP
   p2.Right = MinP.LChild
   p2.Left = p1
   p2.Parent = MinP
   if MinP.LChild [math] \ne [/math] NULL:
     MinP.LChild.Left = p2
   MinP.LChild = p1
   MinP.Rank = MinP.Rank + 1
   MinP.Right = NULL
   MinP.Left = NULL
   return MinP

Значение ключа элемента по указателю

Функция [math]GetKey(p)[/math] по указателю p на элемент определяет значение его ключа:

// под [math]\infty[/math] нужно понимать нейтральный относительно минимума элемент.

 GetKey(p)
   if p == NULL:
     Min = [math]\infty[/math]
   else:
     Min = p.key
   return Min 

Узел с минимальным ключом

Функция [math]MinKeyNodeRoot(p)[/math], которая по указателю [math]p[/math] на списочную часть разряда корневого счетчика возвращает указатель на корневой узел с минимальным ключом:

 MinKeyNodeRoot(p)
   p1 = p
   MinP = p1
   while p1 [math] \ne [/math] NULL:
     if p1.Key < MinP.Key:
       MinP = p1
       p1 = p1.Right
   return MinP

Операция фиксации [math]rmFixRootCount(i)[/math]

Операция фиксации [math]i[/math]-го разряда корневого счетчика подразумевает, что его значение равно трем, а списочная часть содержит указатель на список деревьев ранга [math]i[/math], состоящий ровно из трех деревьев. При выполнении этой операции значение в [math]i[/math]-м разряде — должно стать равным нулю, а значение в [math]i[/math]-м разряде увеличиться на единицу. То есть в куче не должно остаться деревьев ранга [math]i[/math], а количество деревьев ранга [math]i+1[/math] должно увеличиться на единицу. Для этого следует удалить из кучи три присутствующих в ней дерева ранга [math]i[/math] , связать их в дерево ранга [math]i+1[/math] и вставить вновь полученное дерево в кучу. Следует учесть, что ранг нового дерева может стать больше, чем [math]MaxRank[/math], что потребует инициализации нового разряда. Для этого необходимо увеличить значение [math]MaxRank[/math] на единицу и заполнить новое поле, а также провести инициализацию нового разряда.

 rmFixRootCount(i)
   if MaxRank == i:
     MaxRank = i + 1
     RootCount[i + 1].Value = 0
     CountViolation[i + 1].Value = 0
   else:
     UpdateForwardPointer(i + 1)
   RootCount[i].Value = 0
   p1 = RootCount[i].ListPointer
   p2 = p1.Right
   p3 = p2.Right
   p = Fastening(p1, p2, p3)
   RootCount[i].ListPointer = NULL
   InsertTree(i + 1, p)
   RootCount[i + 1].Value = RootCount[i + 1].Value + 1 

Инкрементирование i-го разряда корневого счетчика

По сравнению с описанным алгоритмом инкрементирования [math]i[/math]-го разряда избыточного представления здесь мы должны учесть работу со списочной частью и обновить прямые указатели.

 rmIncRootCount(i,p)
   if (RootCount[i].Value == 1) or (RootCount[i].Value == 2):
     if RootCount[RootCount[i].ForwardPointer].Value == 3:
       FixRootCount(RootCount[i].ForwardPointer);
   if RootCount[i].Value == 3:
     FixRootCount(i)
   InsertTree(i, p)
   RootCount[i].Value = RootCount[i].Value + 1
   UpdateForwardPointer(i)
   if rootCount[i].Value == 3:
     FixRootCount(i)

удаление дерева из кучи

Процедура удаления дерева из кучи подразумевает наличие в куче этого дерева. Пусть удаляемое дерево имеет ранг [math]i[/math] . Тогда значение [math]i[/math]-го разряда избыточного корневого представления не равно нулю. То есть уменьшение этого значения на единицу не испортит регулярности представления и не потребует обновления каких-либо указателей. Необходимо лишь соответствующим образом обработать списочную часть.

 Delete(i, p)
   DeleteTree(i, p)
   RootCount[i].Value = RootCount[i].Value - 1

Нахождение дерева с минимальным ключом в корне ([math]MinKey()[/math])

 MinKey()
   MinP = NULL
   for i = 0 to MaxRank:
     p1 = MinKeyNodeRoot(RootCount[i].ListPointer)
     if GetKey(p1) < GetKey(MinP):
       MinP = p1
   return MinP

Счетчик нарушений

Заметим, что счетчик нарушений очень похож на корневой счетчик выше, но в отличие от второго:

• Нас теперь интересует не само число, а только значения разрядов.
• Операция фиксации тесно связана с толстой кучей.

Значение [math]i[/math]-го разряда для счетчика нарушений интерпретируется как количество неправильных узлов ранга [math]i[/math] , а его списочная часть — это указатели на неправильные узлы ранга [math]i[/math] .

Счетчик нарушений состоит из расширенного избыточного двоичного представления и набора списочных элементов.

Счетчик нарушений представлен Саморасширяющимся массивом, элементы которого состоят из четырех полей:

• [math]CountViolation[i].Value[/math] — количество неправильных узлов ранга [math]i[/math] в куче.
• [math]CountViolation[i].ForvardPointer[/math] — прямой указатель [math]i[/math]-го разряда
• [math]CountViolation[i].FirstViolation[/math] — указатель на неправильный узел ранга [math]i[/math]
• [math]CountViolation[i].SecondViolation[/math] — указатель на неправильный узел ранга [math]i[/math]

Утверждение (о счетчике нарушений):

из определения счетчика нарушений следует: Наличие счетчика нарушений позволяет иметь доступ к любому неправильному узлу ранга [math]i[/math] за время [math]O(1)[/math] . Уменьшение ключа у элемента ранга [math]i[/math] соответствует операции инкрементирования [math]i[/math]-го разряда счетчика нарушений (естественно, лишь в случае, когда новое значение ключа у изменяемого узла становится меньше значения ключа его родителя). Операции инкрементирования и декрементирования [math]i[/math]-го разряда осуществляются за время [math]O(1)[/math].

Для инициализации нового звена в счетчике нарушений необходимо лишь занулить его значение в новом разряде. Делается это только тогда, когда мы вводим в кучу новое дерево ранга [math]MaxRank + 1[/math]. Это первый момент появления в куче узла ранга [math]MaxRank + 1[/math]. Для тех нарушений, которые могут возникнуть в узлах ранга меньше либо равного [math]MaxRank + 1[/math], соответствующие разряды счетчика нарушений уже инициализированы, а узлов большего ранга в куче пока нет.

Основные операции

• [math]MakeHeap[/math] —[math]O(1)[/math]

заключается в инициализации счетчиков.

• [math]FindMin[/math] —[math]O(1)[/math]

возвращает указатель на минимальный элемент.

• [math]Insert(key)[/math] — [math]O(1)[/math]

Чтобы выполнить эту операцию, делаем новый элемент отдельным деревом и выполняем процедуру вставки нового элемента ранга [math]0[/math] в корневой счетчик. После этого, если необходимо, корректируем значение указателя на минимальный элемент.

• [math]DecreaseKey[/math] — [math]O(1)[/math]

Чтобы выполнить эту операцию, поступим следующим образом. Пусть [math]x[/math] — узел, на который указывает указатель [math]p[/math] . Вычитаем [math]\delta[/math] из ключа узла [math]x[/math] . Если новый ключ [math]x[/math] меньше минимального ключа кучи [math]H[/math], обмениваем ключ элемента [math]p[/math] с ключом минимального элемента. Новых нарушений операция не создаст. Пусть [math]r[/math] — ранг [math]x[/math] . Если [math]x[/math] — нарушаемый узел, добавляем [math]x[/math] как новое [math]r[/math]-ранговое нарушение инкрементированием [math]r[/math]-й цифры [math]d_r[/math] счетчика нарушений.

• [math]DeleteMin[/math] — [math]O(\log(n))[/math]

Удаляем поддерево с корнем в минимальном узле из леса. Минимальность этого элемента гарантирует нам, что среди его детей нарушений порядка кучи не было. То есть нет необходимости работать со счетчиком нарушений. Затем вставляем в кучу все деревья с корнями, расположенными в детях удаляемого узла. Очевидно, что новый минимальный ключ — либо в корне дерева леса, либо в нарушенном узле. Выполняем поиск нового минимального элемента среди корней деревьев и нарушенных узлов. Если минимальный элемент оказался в нарушенном узле, то обмениваем его с элементом, хранимым в корне этого дерева, корректируя корневой счетчик, если это необходимо. После замены новый минимум — в корне дерева леса. Этот корень будет новым минимальным узлом.

• [math]Delete[/math] — [math]O(\log(n))[/math]

выполняем [math]DecreaseKey[/math] а затем [math]DeleteMin[/math]

• [math]Meld(h1, h2)[/math] — [math]O(\log(n))[/math]

Первый шаг — фиксируются все нарушения в куче с меньшим максимальным рангом (разрывая связь произвольно). Не уменьшая общности, считаем, что эта куча — [math]р2[/math] . Пройти по счетчику нарушений [math]p2[/math] от младшей цифры к старшей, пропуская цифры со значением [math]0[/math] . Для [math]i[/math]-й цифры [math]d_i != 0[/math] делаем операцию фиксирования на каждой цифре, показываемой прямым указателем [math]d_i[/math] , если эта цифра имеет значение 2. Затем, если [math]d_i = 2[/math] , фиксируем [math]d_i[/math] . Если [math]d_i = 1[/math] , преобразуем это [math]i[/math]-ранговое нарушение в [math](i+1)[/math]-ранговое нарушение, как при фиксировании, используя [math]i[/math]-рангового брата нарушенного узла вместо (несуществующего) другого [math]i[/math] -рангового нарушения. Как только [math]h2[/math] не будет содержать каких-либо нарушений, нужно вставить корни из корневого счетчика [math]h2[/math] в корневой счетчик [math]h1[/math] инкрементированием соответствующих цифр. Если минимальный узел [math]h2[/math] содержит меньший ключ, чем минимальный узел [math]h1[/math] , следует установить новым минимальным узлом [math]h1[/math] минимальный узел [math]h2[/math] . Затем нужно вернуть модифицированную кучу [math]h1[/math] в качестве результата [math]Meld[/math] .

• [math]DeleteViolation[/math]

для освобождения кучи от нарушений достаточно выполнить следующий псевдокод:

 DeleteViolation(h2)
   for i = 0 to h2.MaxRank:
   if CountViolation[i].Value == 2:
     FixCountViolation(i)
   for i = 0 to h2.MaxRank:
     if CountViolation[i].Value == 1:
       IncCountViolation(i, SearchBrother(CountViolation[i].rmFirstviolation))
       FixCountViolation(i)

Источники

• Толстые кучи — INTUIT.ru
• приоритетные очереди - CS center
• Haim Kaplan , Robert E. Tarjan - Thin Heaps, Thick Heaps (2006)