Замкнутость регулярных языков относительно различных операций

Основные операции

Пусть [math]L_1, L_2[/math] - регулярные языки над одним алфавитом [math]\Sigma[/math]. Тогда следующие языки также являются регулярными:

1. [math]L_1 \cup L_2[/math]
2. [math]L_1 L_2[/math]
3. [math]L_1^*[/math]
4. [math]\overline{L_1}[/math]
5. [math]L_1 \cap L_2[/math]
6. [math]L_1 \setminus L_2[/math]

Доказательство

Свойства 1,2,3 непосредственно следуют из определения регулярных языков.

При доказательстве дальнейших свойств воспользуемся эквивалентностью регулярных и автоматных языков. Пусть языки [math]L_1, L_2[/math] распознаются автоматами [math]A_1 = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , T_1 , \delta_1 : Q_1 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_1} \rangle [/math] и [math]A_2 = \langle \Sigma , Q_2 , s_2 , T_2 , \delta_2 : Q_2 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_2} \rangle [/math] соответственно.

4. Инвертируем множество допускающих состояний: рассмотрим автомат [math]A_1' = \langle \Sigma , Q_1 , s_1 , Q_1 \setminus T_1 , \delta_1 : Q_1 \times \Sigma \rightarrow 2^{Q_1} \rangle [/math]. Очевидно, он допускает те и только те слова, которые не допускает автомат [math]A_1[/math].

При таком построении следует помнить, что если в исходном автомате было опущено дьявольское состояние, его нужно явно добавить и сделать допускающим. 5.